Barisan Aritmetika dan Contoh Soalnya

Amati keempat barisan bilangan berikut.
1) 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un
2) 99, 96, 93, 90, ..., Un
3) 1, 2, 5, 7, 12, ..., Un

Selisih dua suku berurutan pada barisan (1) selalu tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan pada barisan (2) selalu tetap, yaitu -3. Barisan bilangan yang demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilangan (3) bukan merupakan barisan aritmetika.

Barisan Aritmetika

Jika terdapat suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada barisan, yaitu selisih antara kedua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), maka barisan bilangan itu disebut barisan aritmatika. Dengan kata lain, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan (beda) selalu tetap.

Jika suku pertama (U1) suatu barisan dinyatakan dengan a, selisih (beda) antara dua suku berurtan diberi notasi b, dan suku barisan ke-n dilambangkan dengan Un, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut.

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), ..., (a+(n-1)b)

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n - 1)b

dimana b = Un - Un-1

Berikut ini beberapa contoh soal barisan aritmatika beserta penyelesaiaannya.

Contoh Soal Barisan Aritmetika

Soal 1
Selidikilah apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmetika atau bukan.
a. 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19
b. 2, –2, 2, –2, –2
Jawab:
a. Barisan aritmetika dengan b = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7= 13 – 10 = 16 – 13 = 19 -16 = 3 atau dengan kata lain barisan memiliki beda tetap yaitu b = 3

b. Bukan barisan aritmetika karena selisih dua suku yang berurutan tidak sama atau tidak tetap.

Soal 2
Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan 5, 10, 15, 20, ...
Jawab:
Suku pertama = U1 = a = 5
Beda (b) = U2 - U1 = 10 - 5 = 5
Rumus suku ke-n = a + (n - 1)b
= 5 + (n - 1)5
= 5 + 5n - 5
= 5n
Suku ke-10 (U10) = 5n
= 5(10)
= 50

Soal 3
Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya produksi turun sebesar 80 unit per tahun.Pada tahun ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang?
Jawab:
b = -80
a = 5000
Un = 3000

Un = a + (n - 1)b
3000 = 5000 + (n -1)(-80)
3000 = 5000 -80n + 80
80n = 5000 + 80 - 3000
80n = 2080
n = 26
Jadi, perusahaan memproduksi 3000 unit barang pada tahun ke-26

Soal 4
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 = 17 dan suku ke-9 = 37. Tentukan suku ke-41.

Jawab:

U4 = 17

a + (4-1)b = 17

a + 3b = 17...................1)

U9 = 37

a + (9-1) = 37

a + 8b = 37...................2)

Eliminasi persamaan 1) dan 2)

Substitusi b = 4 ke persamaan 1)

a + 3(4) = 17

a + 12 = 17

a = 5

Un = a + (n-1)b

U41 = 5 + (41-1)4

= 5 + 160

= 165

Jadi, suku ke-41 adalah 156

Soal 5
Banyak kursi pada baris pertama di gedung kesenian ada 22 buah. Banyak kursi pada baris di belakangnya 3 buah lebih banyak dari kursi pada baris di depannya. Banyak kursi pada baris kedua puluh adalah...