Penerapan Fungsi Eksponen Dalam Bidang Ekonomi

Fungsi pertumbuhan merupakan salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dalam bidang ekonomi. Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara monoton. Fungsi pertumbuhan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang merupakan batas atas.
Dalam karya tulis ini fungsi pertumbuhan yang dimaksud hanya terbatas pada fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk atau biologis, kurva (fungsi) Gompertz, dan kurva (fungsi) pengajaran.
1. Fungsi Bunga Majemuk
Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesar

dibungakan

kali per tahun dengan bunga sebesar 100

% (atau r) per tahun maka setelah

tahun, modal tersebut akan menjadi:

Apabila

sangat besar yaitu

, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaannya akan menjadi:

Dengan,

= Modal awal atau besar modal pada tahu yang ke nol.

= Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke

= Bilangan basis dalam logaritma natural

= Kelipatan bunga yang dibayar per tahun

= Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan

= Besarnya bunga per tahun
Jikan fungsi

dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut:

Gambar 02 Grafik Fungsi Bunga Majemuk Dengan

Contoh:
Seorang petani membutuhkan uang sebesar 5 juta rupiah pada 10 tahun yang akan datang. Berapa jumlah uang yang harus ditabung mulai sekarang dengan bunga 24% per tahun untuk memperoleh jumlah uang yang diharapkan?
Penyelesaian:
Diketahui:

= 5000000

= 10 tahun

= 24 % = 0,24

= 1
Ditanyakan:

= ...?
Jawab:

Jadi, uang yang harus ditabung mulai sekarang sebesar Rp. 581772,49

2. Pertumbuhan Penduduk
Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat

mengalami pertumbuhan sebesar 100

% per tahun (atau

per tahun), maka setelah t tahun, jumlah penduduk menjadi:

Bila suatu negara (daerah) dengan jumlah penduduk yang besar, maka pertumbuhan penduduk berlangsung hampir kontinyu, jumlah penduduk setelah t tahun menjadi:

Misalkan

pada persamaan

sama dengan

yaitu

, maka persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

= jumlah penduduk pada tahun yang ke t

= jumlah penduduk pada tahun awal yaitu tahun yang ke nol

= tingkat pertumbuhan

= tingkat pertumbuhan ditambah 1
Contoh:
Pada tahun 2001 penduduk sebuah kota adalah 629039 jiwa. Sedangkan pada tahun 2006 jumlah penduduknya adalah 771186 jiwa.
a. Berapa tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut?
b. Perkirakan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2016!
Penyelesaian:
Diketahui:

= 629039

= 771186 (tahun 2006)
t = 5 (dari 2001 sampai dengan 2006)
Ditanyakan:
a.

= ...?
b.

= ...? (tahun 2016)
Jawab:
a.

b. t = 15 (dari 2001 sampai dengan 2016)
Karena t cukup besar maka untuk mempermudah perhitungan kita gunakan logaritma, sehingga:

3. Fungsi Gompertz
Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu mulai tumbuh, dan waktu mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut.

Keterangan:

= jumlah penduduk pada tahun ke

= tingkat pertumbuhan (dengan

)

= proporsi pertumbuhan awal

= tingkat pertumbuhan dewasa (yaitu asimtut tertinggi)

= indeks waktu
Sifat utama dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis kurva di bawah ini.
Tipe I:

Tipe II:

Gambar 03 Kurva Gompertz
Kurva I, untuk nilai

kecil yang positif kurva cembung tehadap sumbu t (berakselerasi positif) dan untuk nilai

besar yang positif, kurva cekung tehadap sumbu

(berakselerasi negatif). Sedangkan kurva II, untuk semua nilai

positif, kurva cekung terhadap sumbu

(berakselerasi negatif).
Kurva yang ditemukan Gompertz ini dalam bidang ekonomi digunakan untuk fungsi pendapatan total dan produksi.
Contoh:
Penjualan setiap bulan dari sebuah perusahaan memenuhi fungsi

p adalah jumlah pengeluaran untuk promosi dan advertensi.

adalah penjumlahan atau omzet setiap bulan.
a. Berapa besar penjualan bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi sama dengan nol atau berapa besar penjualan awalnya?
b. Berapa penjualan maksimumnya?
c. Berapa besar penjualannya bila pengeluaran untukpromosi dan avertensi 5?
Penyelesaian:
Diketahui:

Ditanyakan:
a.

jika

maksimum =.....? (

)
c.

jika

Jawab:
a. Jika

, maka

adalah:

Jadi penjualan awalnya adalah 100
b. Penjualan maksimum terjadi saat tingkat pertumbuhannya nol

Jadi, penjualan maksimunya adalah 1000
c. Jika

, maka

adalah:

Jadi, besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 adalah

4. Fungsi Pengajaran
Fungsi pengajaran umumnya dipakai oleh psikolog untuk menggambarkan taraf pertumbuhan pendidikan manusia, yang sifatnya meningkat cepat pada awalnya dan semakin lambat ketika mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut.

, dan

adalah konstanta positif

= keaktifan belajar

= variabel pendorong
Bentuk grafiknya secara umum adalah sebagai berikut.

Gambar 04 Grafik Fungsi Pengajaran
Fungsi pengajaran dalam ewkonomi dapat digunakan untuk menjelaskan fungsi biaya dan produksi.
Contoh:
Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan sebagai berikut.

menyatakan biaya produksi dan

menyatakan kuantitas produksi
a. Berapa besar biaya tetapnya?
b. Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya?
Penyelesaian:
Diketahui: