Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Diskriminan

Perhatikan rumus abc berikut:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b² – 4ac) disebut diskriminan (D). Sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan, yaitu D = b² – 4ac. Sifat akar-akar tersebut adalah.
a. Jika D > 0

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
2. Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional.
3. Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional

b. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c. Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh:
1. Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut, tanpa terlebih dahulu menentukan akar-akarnya.
a. 2x² + 3x – 14 = 0
b. 2x² + 3x + 4 = 0
c. 4x² – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka
D = 3² – 4 ・ 2 ・ (–14)
    = 9 + 112
    = 121
Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 2x² + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka
D = 3² – 4 ・ 2 ・ 4
    = 9 – 32
    = –23
Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

c. 4x² – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka
D = (–12)² – 4 ・ 4 ・ 9
   = 144 – 144
   = 0
Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x² – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

2. Persamaan kuadrat px² + (2 – 2p)x + p = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda. Tentukan nilai p.
Jawab:
px² + (2 – 2p)x + p = 0
Dengan nilai a = p, b = 2 – 2p, c = p maka
D = (2 – 2p)² – 4 ・ p ・ p
    = 4 – 8p + 4p² – 4p²
    = 4 – 8p
Agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang berbeda maka syaratnya adalah D > 0 sehingga
4 – 8p > 0
    –8p > –4
        p < –4/-8
        p < 1/2
Jadi, nilai p < 1/2

Semoga bermanfaat :)

Share :