Penurunan Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

Dalam menurunkan rumus perkalian Sinus dan Cosinus kita perlu mengingat kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut yaitu:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B……………1)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B……………2)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B…………….3)
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B…………….4)
 

Selanjutnya dengan menggunakan rumus di atas kita dapat menurunkan rumus perkalian Sinus dan Cosinus

Dari persamaan 1) dan 2)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B……………1)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B……………2)
Jika dijumlahkan maka kita akan memperoleh (jumlahkan bersusun)
cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B
atau
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
Sedangkan jika kita kurangkan kita akan memperoleh (kurangkan bersusun)
cos (A + B) - cos (A – B) = -2 sin A sin B
atau
-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A – B)
 
Dari persamaan 3) dan 4)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B…………….3)
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B…………….4)
Jika dijumlahkan maka kita akan memperoleh (jumlahkan bersusun)
sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B
atau
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
Sedangkan jika kita kurangkan kita akan memperoleh (kurangkan bersusun)
sin (A + B) - sin (A – B) = 2 cos A sin B
atau
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)
 
Dengan demikian kita memperoleh empat persamaan yaitu
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)………..5)
-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A – B)………...6)
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)………….7)
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)…………..8)

Persmaan di atas akan memudahkan kita dalam menyelesaikan soal-soal perkalian sinus dan cosinus. Dari persamaan-persamaan di atas pula kita dapat menurunkan rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus. Berikut ini akan saya sajikan beberapa contoh mengenai penggunaan persamaan perkalian sinus dan cosinus.

Contoh:
Hitunglah:
a. cos 75° cos15°
b. –2 sin 15°sin 75°

Jawab:
a. cos 75° cos15°
Untuk menjawab soal di atas kita gunakan persamaan 5)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
cos A cos B = ½ (cos (A + B) + cos (A – B))
cos 75° cos 15° = ½ (cos (75° + 15°) + cos (75° – 15°))
cos 75° cos 15° = ½ (cos 90^o + cos 60^o)
cos 75° cos 15° = ½ (0 + ½ )
cos 75° cos 15° = ¼
 
b. –2 sin 15°sin 75°
Untuk menjawab soal di atas kita gunakan persamaan 5)
-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A – B)
-2 sin 15° sin 75° = cos (15° + 75°) - cos (15° – 75°)
-2 sin 15° sin 75° = cos 90° - cos -60°
-2 sin 15° sin 75° = 0 - ½
-2 sin 15° sin 75° = – ½

Semoga bermanfaat :)

Share :