Garis – Garis Istimewa pada Sebuah Segitiga dan Cara Menghitungya

Kali ini saya akan berbagi mengenai garis-garis istimewa pada sebuah segitiga. Postingan ini sengaja saya buat yang berawal dari pengalaman pribadi saya. Beberapa waktu yang lalu saya ditanya sebuah soal oleh seorang teman saya mengenai garis bagi. Tanpa pikir panjang saya menjawab soal itu dan jawaban saya ternyata salah. Ternyata saya salah persepsi mengenai garis bagi, yang saya kira garis bagi membagi sisi dihadapanya menjadi dua bagian yang sama. Sejak saat itu saya membuka kembali semua kitab suci (buku matematika) yang saya miliki guna mencari apa itu garis bagi. Akhirnya, setelah mencari-cari akhirnya ketemu juga. Tidak hanya garis bagi yang saya temukan garis berat, garis proyeksi, garis berat dan garis sumbu dari sebuah segitiga yang jujur masih awam ditelinga saya. Untuk itu, saya menulisnya langsung pada postingan kali ini agar bermanfaat bagi yang memiliki masalah yang sama seperti saya. Baiklah langsung saja, silahkan baca penjelasannya di bawah ini

1. Garis Proyeksi

Proyeksi suatu titik terhadap suatu garis adalah berupa suatu titik yang terletak pada garis tersebut yang mana terbentuk dari titik yang semula ditarik tegak lurus pada garis tersebut. Sedangkan proyeksi suatu garis terhadap garis lain adalah berupa garis yang mana terbentuk dari menarik masing-masing ujung garis secara tegak lurus ke arah garis lain tersebut. Perhatikan gambar berikut

Garis PQ’ disebut proyeksi ruas garis PQ terhadap ruas garis PR karena ruas garis QQ’ tegak lurus terhadap ruas garis PR.
Dalam menentukan panjang hasil proyeksi sebuah garis pada garis lainnya dalam sebuah segitiga menggunakan teorema Pythagoras
Panjang garis proyeksi sisi dihadapan sudut lancip
clip_image002

Panjang garis proyeksi sisi AC (b) pada sisi AB (c) adalah sisi AD (p) yang dapat dirumuskan dengan

Panjang garis proyeksi sisi BC (a) pada sisi AB (c) adalah sisi BD (c – p) yang dapat dirumuskan dengan

Panjang garis proyeksi sisi dihadapan sudut tumpul
clip_image007

Panjang proyeksi sisi AC (b) di hadapan sudut tumpul B terhadap sisi AB (C) adalah panjang garis AD (p) yang dapat ditentukan dengan

Selain formula-formula di atas ada beberapa formula lain yang terkait dengan garis proyeksi pada garis siku-siku. Perhatikan segitiga ABC berikut.

Pada segitiga ABC di atas, AD merupakan proyeki AC pada AB dan BD merupakan proyeksi BC pada AB maka berlaku

2. Garis Tinggi

Garis tinggi (altitude) suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi di hadapannya.

Garis-garis tinggi segitiga ABC yang ditarik dari titik sudut A, B, dan C adalah t_A = AD, t_B = BE, dan t_C = CF bertemu di satu titik M , maka M disebut orthocenter. Garis-garis tinggi tersebut dapat ditentukan menggunakan rumus

atau

dimana,

L = luas segitiga ABC
a = sisi di hadapan titik A
b = sisi di hadapan titik B
c = sisi di hadapan titik C

3. Garis Berat

Garis berat (median) sebuah segitiga merupakan garis yang ditarik dari titik sudut sebuah segitiga ke suatu titik tengah sisi depanya. Perhatikan segitiga ABC berikut.
clip_image034

Garis-garis berat dari segitiga ABC adalah z_A = AD, z_B = BE, dan z_C = CF yang bertemu pada satu titik Z yang disebut titik berat (centroid). Garis-garis berat tersebut dapan ditentukan dengan rumus

dimana
a = sisi di hadapan titik A
b = sisi di hadapan titik B
c = sisi di hadapan titik C

4. Garis Bagi

Garis bagi (angle bisector) sebuah segitiga merupakan garis yang ditarik dari titik sudut sebuah segitiga sehingga membagi sudut itu menjadi dua sama besar. Titik perpotongan antara ketiga garis bagi segitiga disebut circumcenter. Perhaikan segitiga ABC berikut.
clip_image041

Garis-garis bagi segitiga ABC yang ditarik dari titik-titik sudut A, B, dan C adalah l_A = AF, l_B = BE, dan l_C = CD bertemu di satu titik L yang disebut titik bagi (circumcenter). AF membagi sudut BAC menjadi dua sama besar sehingga sudut CAF = sudut BAF. BE membagi sudut ABC menjadi dua sama besar sehingga sudut CBE = sudut ABE, serta CD membagi sudut ACB menjadi dua sama besar sehingga sudut ACD = sudut BCD. Untuk menentukan panjang garis-garis bagi tersebut dapat menggunakan rumus

Selain itu dalam garis suatu segitiga kita akan memperoleh suatu hubungan, coba perhatikan segitiga berikut

Jika D pada AC sehingga BD merupakan garis bagi sudut ABC, maka berlaku

5. Garis Sumbu

Garis sumbu (perpendicular bisector) suatu segitiga merupakan garis yang melalui titik tengah titik tengah segitiga dan tegak lurus terhadap sisi tersebut. Pada gambar di bawah jika l, k, m merupakan garis sumbu. Titik D merupakan titik potong dari ketiga garis sumbu tersebut yang disebut incenter.