Mengenal Jenis-Jenis Permutasi

Dalam mempelajari peluang, kita akan dihadapkan pada permasalahan yang dapat diselesaikan dengan permutasi. Nah, pada bahasan kali ini kita akan membahas mengenai Permutasi. Tetapi, sebelum kita membahas permutasi, ada baiknya kita mengingat atau memahami kembali notasi faktorial. Karena, notasi faktorial ini akan digunakan untuk menuliskan rumus-rumus permutasi.

Notasi faktorial

Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n dinotasikan dengan n! (dibaca n faktorial), sehingga didefinisikan

n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n

atau

n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

didefinisikan pula:

1! = 1

0! = 1

Contoh:

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120

Setelah memahami notasi faktorial, sekarang kita akan mempelajari permutasi, dimana permutasi dibedakan menjadi beberapa jenis yaitu permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama, permutasi siklis dan permutasi berulang.

Permutasi dari Unsur-Unsur yang Berbeda

Dalam memahami permutasi dari unsure-unsur yang berbeda kita perlu memahami masalah berikut. Misalkan kita akan menyusun 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, dan C maka susunan yang dapat kita bentuk adalah:

http://www.madematika.id/

Sehingga terdapat 6 susunan yang dapat kita buat. Atau kita dapat mencarinya dengan cara mendaftar, banyak huruf yang bisa kita pilih untuk huruf pertama adalah 3. Sedangkan, untuk huruf kedua kita bisa memilih 2 huruf (ingat kita sudah menggunakan satu huruf untuk huruf pertama). Sehingga banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:

3 x 2 = 6 susunan yang berbeda.

Tiap susunan ini disebut permutasi 2 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia. Dari uraian di atas, kita dapat memahami definisi permutasi berikut ini.

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r ≤ n).

Ada beberapa notasi untuk menyatakan permutasi _nP_r, ⁿP_r atau P(n, r). Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah:

_nP_r = $\large \frac{n!}{(n-r)!}$

Contoh:

Berapa banyak susunan yang terdiri dari atas 3 huruf yang diambil dari huruf H, O, N, D, dan A?

Jawab:

₅P₃ = $\large \frac{5!}{(5-3)!}$ !

= $\large \frac{5!}{2!}$

= $\large \frac{5\times 4\times 3\times 2!}{2!}$

= 5x4x3

= 60

Jadi, banyak susunan yang dapat dibentuk adalah 60 susunan

Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k₁, k₂, k₃, …k_n unsur yang sama (k₁ + k₂ + k₃ + …+ k_n < n) dapat ditentukan dengan

P = n!/k₁!k₂!k₃! … k_n!

Contoh:

Berapa banyak susunan yang berbeda dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata “MADEMATIKA”

Jawab:

Pada kata MADEMATIKA terdapat 2 huruf M yang sama dan 3 huruf A yang sama, maka permutasinya menjadi

$\large P = \frac{10!}{2!3!}$

$\large = \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{2\times 1\times 3!}$

= 302400

Jadi, banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk adalah 302400

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran dengan memperhatikan urutannya. Misalkan tersedia n unsur yang berbeda, banyaknya permutasi siklis dari n unsur dapat ditentukan dengan

P_(siklis) = (n-1)!

Contoh:

Lima orang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyaknya susunan duduk yang berbeda dari lima orang tersebut?

Jawab:

P = (5 – 1)!

= 4!

=4 x 3 x 2 x 1

=24

Jadi, banyaknya susunan duduk yang berbeda dari lima orang tersebut adalah 24 susunan

Permutasi Berulang

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda, banyak permutasi r unsur yang diambil dari unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) sama dengan

P_(berulang) = n^r

Contoh:

Berapa banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika angka-angka yang tersedia boleh ditulis berulang?

Jawab:

P = 5³

= 125

Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun adalah 125 bilangan

Semoga bermanfaat :)