Integral Dengan Metode Substitusi dan Integral Parsial

Terdapat dua metode dalam menyelesaikan masalah-masalah integral yang perlu diketahui yaitu integral dengan metode substitusi dan integral parsial. Kedua metode ini digunakan ketika suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan aturan-aturan dasar integral. Sehingga kedua metode ini sangat penting untuk diketahui.

Untuk itu langsung saja kita bahas mengenai kedua metode integral tersebut

Integral Dengan Metode Substitusi

Untuk menentukan $\int f(x)dx$ , kita dapat mensubstitusi u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan dari h, maka
$\int f(x)dx=\int h(u)du=H(u)+C=H(g(x))+C$
Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut
Contoh:
Tentukan integral dari $\int 4x(x^{2}+2)^{4}dx$
Penyelesaian:
Misalkan $u = x^{2}+2$

$dx = \frac{du}{2x}$

$\int 4x(x^{2}+2)^{4}dx=\int 4x\cdot u^{4}\frac{du}{2x}$ $=\int 2\cdot u^{4}du$
$=2\int u^{4}du$
$=2\cdot \frac{1}{5}u^{5}$
$=\frac{2}{5}(x^{2}+2)^{5}$
Selain pada integral tak tentu, teknik integral substitusi ini dapat pula digunakan pada integral tertentu.

Integral Parsial

Tidak semua integral dapat diselesaikan dengan menggunakan metode integral substitusi untuk menyelesaikan integral tersebut kita bisa menggunakan alternatif metode integral parsial. Untuk memahami tentang integral parsial perhatikan penjelasan berikut.
Misalkan y = uv
maka y' = u'v + uv' atau

$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$

Jika ruas kiri terhadap ruas kanan diintegralkan terhadap x, diperoleh

$\int dy=\int vdu+\int udv$

$y=\int vdu+\int udv$
Karena y = uv maka,

$uv=\int vdu+\int udv$
sehingga

$\int udv=uv-\int vdu$
Untuk lebih memahami penggunaan dari metode integral parsial, perhatikan contoh berikut.
Selesaikan integral $\int x(x-3)^{4}dx$ !
Penyelesaian:
Misalkan
u = x <---> du = dv
dv = (x - 3)4 dx <---> $v = \int (x-3)^{4}dx = \frac{1}{5}(x-3)^{5}$

$\int x(x-3)^{4}dx = x\frac{1}{5}(x-3)^{5}-\int \frac{1}{5}(x-3)^{5}$
   $= \frac{1}{5}x(x-3)^{5}-\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{6}(x-3)^{6}+C$
   $= (\frac{1}{5}x-\frac{1}{30}(x-3))(x-3)^{5}+C$
   $= (\frac{1}{5}x-\frac{1}{30}x-\frac{3}{30})(x-3)^{5}+C$
   $= \frac{1}{30}(5x-3)(x-3)^{5}+C$
Selain pada integral tak tentu, teknik integral parsial juga dapat digunakan pada integral tertentu.