Cara Membuktikan Suatu Rumus Dengan Induksi Matematika

Dalam materi deret aritmetika maupun deret geometri kita mengenal adanya jumlah n suku pertama atau yang dinotasikan dengan Sn. Selanjutnya jumlah dari deret bilangan-bilangan juga dinotasikan dengan notasi sigma (S). Untuk lebih lengkapnya notasi sigma dituliskan seperti berikut ini

Dengan n merupakan batas atas penjumlahan dan i = 1 merupakan batas bawah penjumlahan serta nilai n ³ i. Batas bawah penjumlahan tidak harus dimulai dari 1, dapat pula dimulai dari bilangan bulat yang lain.

Dari penjumlahan deret bilangan tersebut munculah rumus atau teorema umum yang menyatakan jumlah atau S_n. Namun, apakah suatu rumus penjumlahan tersebut dapat mewakili suatu penjumlahanan suatu deret? Maka dari itu rumus-rumus tersebut perlu dibuktikan kebenarannya. Untuk membuktikan kebenarannya kita dapat menggunakan induksi matematika.
Dalam membuktikan suatu rumus dengan induksi matematika kita harus mengikuti beberapa langkah berikut

Langkah Pertama
Tunjukkan bahwa rumus adalah benar untuk n = 1.

Langkah Kedua
Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k

Langkah Ketiga
Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1

Jika kedua langkah itu telah dibuktkan, dapat diambil kesimpulan bahwa rumus atau teorema S_n adalah benar untuk setiap bilangan asli n. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh soal berikut

Contoh 1
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 6 + 10 + 14 + … + (4n + 2) = 2n² + 4n berlaku untuk semua n bilangan asli
Penyelesaian
Langkah Pertama, Tunjukkan bahwa rumus adalah benar untuk n = 1.
Kita akan menunjukkanya secara bersamaan dari ruas kiri dan ruas kanan
4n + 2 = 2n² + 4n
4(1) + 2 = 2(1)² + 4(1)
6 = 2 + 4
6 = 6 (benar)
Langkah Kedua, Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k
6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) = 2k² + 4k
Langkah Ketiga, Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1
Agar lebih mudah dan mengurangi resiko kesalahan didalam pengerjaan sebaiknya untuk langkah ketiga dikerjakan secara terpisah, kemudian dicocokan apakah ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dengan substitusi n = k + 1 maka diperoleh
6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) + (4(k+1) + 2) = 2(k + 1)² + 4(k + 1)
Ruas kiri
6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) + (4(k+1) + 2) = (2k² + 4k) +(4k + 4 + 2)
(ingat 6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) = 2k² + 4k)
= (2k² + 4k) +(4k + 6)
= 2k² + 8k + 6
Ruas kanan
2(k + 1)² + 4(k + 1) = 2(k² + 2k + 1) + 4k + 4
= 2k² + 4k + 2 + 4k + 4
= 2k² + 8k + 6
Ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu 2k² + 8k + 6 (benar)
Dengan demikian terbukti bahwa 6 + 10 + 14 + … + (4n + 2) = 2n² + 4n berlaku untuk semua n bilangan asli

Contoh 2
Buktikan bentuk notasi sigma di bawah ini dengan induksi matematika

Penyelesaian
Langkah Pertama, Tunjukkan bahwa rumus adalah benar untuk n = 1.
2(1) = 1(1 + 1)
2 = 2 (benar)
Langkah Kedua, Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k