Menentukkan Determinan Matriks 4x4

Menentukan determinan matriks persegi 4x4 dapat dilakukan dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor. Mengenai apa itu metode ekspansi kofaktor silahkan baca pada artikel Menentukan Determinan Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor.

Menentukan determinan matriks 4x4 tidaklah susah, hanya pada pengerjaanya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama. Namun, biasanya pada soal-soal yang menuntut kita untuk menemukan determinan matriks 4x4 biasanya pasti ada celah sehingga kita dapat menyelesaikannya dengan cepat. Sekarang, tergantung kita apakah kita bisa melihat dan memanfaatkan celah/kemudahan yang diberikan.

Ada beberapa hal yang perlu kita ingat kembali mengenai menentukan determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor. Ekspansi kofaktor yang bisa gunakan adalah dengan menggunakan ekspansi kofaktor kolom ke-j ataupun ekspansi kofaktor baris ke-i. Selain itu, kita harus ingat pula menentukkan minor dan kofaktor dari suatu matriks.

Untuk lebih memahami dalam mencari determinan matriks 4x4, coba perhatikan contoh berikut.

Tentukan determinan matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 & 0\\ 0 & 5 & 2 & 3\\ -2 & 3 & -1 & 4\\ 3 & 6 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Penyelesaian;
Langkah pertama, yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan soal ini adalah kita cari cara yang termudah dalam menyelesaikannya. Dalam hal ini, kita akan menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama karena dua dari empat elemen baris pertama bernilai nol (0).
det (A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃ + a₁₄C₁₄

Karena a₁₂ dan a₁₄ bernilai nol (0), dengan demikian kita hanya perlu mencari kofaktor C11 dan C13. Dalam mencari determinan submatriks (minor), kita dapat menggunakan metode sarrus ataupun metode ekspansi kofaktor. Pada kasus ini, metode yang digunakan adalah metode sarrus.
$C_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 5 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 4\\ 6 & 0 & 5 \end{vmatrix}\begin{matrix} 5 & 2\\ 3 & -1\\ 6 & 0 \end{matrix}=1((-25+48+0)-(-18+0+30))=11$

$C_{13}=\left ( -1 \right )^{1+3}\begin{vmatrix} 0 & 5 & 3\\ -2 & 3 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 0 & 5\\ -2 & 3\\ 3 & 6 \end{matrix}\right|=1((0 + 60 - 36)-(27+0-50))=47$

Jadi, determinan matriks A adalah
det (A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃ + a₁₄C₁₄
= 2(11) + 0 + (-3)(47) + 0
= 22 - 141
= -119

Dengan cara yang hampir sama, kita dapat menentukan determinan matriks persegi dengan ordo yang lebih besar.

Update:
Jawaban sudah diperbaiki, terima kasih Surya Dharma Sinaga