Persamaan dan Pertidaksamaan Mutlak Linear Satu Variabel

Sebelum membahas mengenai menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak. Pertama, kita bahas terlebih dahulu mengenai persamaan linear, pertidaksamaan linear, serta konsep nilai mutlak. Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sedangkan, Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Dalam hal ini persamaan linear dan pertidaksamaan linear yang nantinya melibatkan nilai mutlak kita batasi pada persamaan linear dan pertidaksamaan yang hanya memiliki satu variabel.

Nilai mutlak sendiri adalah jarak antara bilangan itu dengan nol (0) pada garis bilangan. Misalkan 5, pada garis bilangan mempunyai jarak 5 dengan nol (0). Sehingga nilai mutlak dari 5 adalah 5 (dinotasikan dengan |5| = 5). Contoh lainnya misalkan -7 mempunyai jarak 7 dengan nol (0) pada garis bilangan sehingg |-7|=7

Nilai mutlak dapat didefinisikan dengan
Misalkan x bilangan real, didefinisikan

Nilai mutlak juga dapat didefinisikan dengan

"Apabila x adalah sebuah bentuk aljabar, sedangkan n merupakan bilangan real positif, maka |x| = n dapat diimplikasikan menjadi x = n atau x = -n"

Perlu diingat bahwa sifat ini hanya bisa diaplikasikan setelah kita melakukan isolasi terhadap simbol nilai mutlak yang ada pada satu ruas. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x - 7| = 3
Penyelesaian
x - 7 = 3
x = 7 + 3
x = 10
atau
-(x - 7) = 3
x - 7 = -3
x = -3 + 7
x = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {4, 10}

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3|2x + 3| - 7 = -4
Penyelesaian
Untuk soal tipe ini, kita perlu mengubah bentuk soal menjadi seperti bentuk soal pada contoh 1. Berikut adalah cara penyelesaianya
3|2x + 3| - 7 = -4
3|2x + 3| = -4 + 7
3|2x + 3| = 3
|2x + 3| = 1
2x + 3 = 1
2x = 1-3
2x = -2
x = -1
atau
-(2x + 3) = 1
2x + 3 = -1
2x = -1 – 3
2x = -4
x = -2
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {1, -2}

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan |x – 1| + |3x + 6| = 8
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal di atas maka kita perlu mengisolasi setiap bentuk aljabar yang melibatkan nilai mutlak seseuai dngan definisinya sehingga didapat

Dari bentuk di atas kita mendapatkan tiga daerah dalam garis bilangan yaitu x ³ 1, -2 ≤ x < 1, dan x < -2. Ketiganya kita uji untuk mendapatkan himpunan penyelesaianya.
Untuk x ³ 1 maka
x – 1 + 3x + 6 = 8
4x + 5 = 8
4x = 8 – 5
4x = 3
x = ¾ (tidak memenuhi, karena x = ¾ tidak berada pada interval x ³ 1)
Untuk -2 ≤ x < 1 maka
-(x – 1) + 3x + 6 = 8
-x + 1 + 3x + 6 = 8
2x + 7 = 8
2x = 8 – 7
2x = 1
x = ½ (memenuhi, karena x = ½ berada pada interval -2 ≤ x < 1)
Untuk x < -2 maka
-(x – 1) + -(3x + 6) = 0
-x + 1 -3x – 6 = 8
-4x – 5 = 8
-4x = 8 + 5
-4x = 13
x = -13/4 (memenuhi, karena berada pada interval x < -2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah = { ½, -13/4}

Untuk pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak, kita dapat menyelesaikan dengan bentuk

Dalam menyelesaikan bentuk pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak kita harus memahami cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Karena dalam menyelesaikan bentuk pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak kita akan menemukan bentuk pertidaksamaan kuadrat. Nah, bagaimana cara menggunakannya? Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x-1| > 2
Penyelesaian
|x-1| > 2
(x - 1)² > 2²
x² -2x + 1 > 4
x² -2x +1 - 4 >0
x² -2x -3 > 0
(x – 3)(x + 1)>0
x = 3 atau x = -1

x < -1 atau x > 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x < -1 atau x > 3

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 5| > 2
Penyelesaian
|x – 5| > 2
(x – 5)² > 2²
x² – 10x +25 > 4
x² – 10x + 21 > 0
(x - 3)(x - 7) > 0
x – 3 = 0 atau x – 7 =0
x = 3 x = 7

x < 3 atau x > 7
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x < 3 atau x > 7

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x – 5| ≤ |x + 1|
Penyelesaian
|2x – 5| ≤ |x + 1|
(2x – 5)² ≤ (x + 1)²
4x² – 20x + 25 ≤ x² + 2x + 1
4x² – 20x + 25 - x² - 2x – 1 ≤ 0
3x² -22x + 24 ≤ 0
(3x - 4)(x – 6) ≤ 0
3x – 4 = 0 atau x – 6 = 0
x = 4/3 x = 6

4/3 ≤ x ≤ 6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 4/3 ≤ x ≤ 6

Untuk penyelesaian pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak kita juga dapat menggunakan sifat dari bentuk selisih kuadrat (a² - b²). Dimana bentuk selisih kuadrat tersebut dapat dengan mudah difaktorkan. Coba perhatikan bentuk selisih kuadrat berikut.

a² - b² = (a + b)(a - b)

Sehingga kita akan memperoleh alternatif penyelesaian yang mungkin lebih mudah. Sebagai contoh kita akan menyelesaikan ulang contoh 1 dengan memanfaatkan sifat bentuk selisih kuadrat
Alternatif penyelesaian contoh 1
|x-1| > 2
(x - 1)² - 2²> 0
(x - 1 + 2)(x - 1 - 2) > 4
(x + 1)(x - 3)>0
x = -1 atau x = 3

x < -1 atau x > 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x < -1 atau x > 3

Nah, cobalah sendiri untuk soal-soal lainnya. Demikianlah tadi penjelasan singkat mengenai menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak. Semoga bermanfaat.