Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, dan Bidang Diagonal Kubus dan Balok

Kubus dan balok merupakan dua bangun ruang tiga dimensi yang masing-masing dibatasi oleh enam buah bidang (bidang sisi). Kubus dan balok juga banyak memiliki kesamaan sifat kecuali pada rusuk dimana kubus memiliki 12 buah rusuk yang sama panjang sedangkan balok memiliki 12 rusuk yang terbagi menjadi 3 kelompok rusuk yaitu panjang, lebar, dan tinggi.

Sebelumnya kita telah membahas mengenai rumus luas permukaan dan juga volume dari beberapa bangun ruang sisi datar maupun lengkung termasuk diantaranya kubus dan balok (Baca : Kumpulan Rumus Luas Permukaan dan Volume Suatu Bangun Ruang). Untuk artikel kali ini, kita akan membahas mengenai diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal pada bangun ruang dimensi tiga yang kita batasi bahasan kali ini pada kubus dan balok. Pemahaman mengenai diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal pada kubus dan balok sangatlah penting, karena dengan memahaminya kita akan lebih mudah memahami cara menentukan diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal bangun ruang dimensi tiga lainnya seperti pada prisma dan limas.

Nantinya, dalam menentukan diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal terlebih dahulu kita harus memahami mengenai materi teorema pythagoras. Karena, teorema pythagoras menjadi salah satu materi prasyarat di dalam menentukan diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonl dan apabila anda belum memahami materi teorema pythagoras silahkan baca artikel mengenai Menemukan Teorema Pythagoras.

Sebelum, kita membahas cara menentukan diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal ada baiknya kita membahas terlebih dahulu mengenai pengertian dari ketiga istilah tersebut. Diagonal bidang merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut (bidang) yang berhadapan pada setiap bidang dan tidak merupakan rusuk bidang. Diagonal ruang merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang. Sedangkan bidang diagonal merupakan bidang yang terbentuk melalui diagonal bidang maupun rusuk dan tidak merupakan bidang sisi.

Diagonal Bidang Kubus dan Balok

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut

Gambar di atas, merupakan gambar kubus dengan panjang rusuk yang sama yaitu s. Dari gambar, di atas kita mengetahui bahwa kubus memiliki 6 buah bidang sisi dan tiap-tiap bidang sisi memiliki 2 diagonal bidang. Sehingga kubus ABCD.EFGH memiliki 12 diagonal bidang diantaranya adalah AC, BD, AF, BE, BG, CF, CH, DG, AH, DE, EG, dan FH. Ambil misalnya diagonal bidang AC yang akan kita tentukan panjangnya. AC terletak pada bidang sisi ABFE, AC merupakan hipotenusa (sisi miring) pada segitiga siku-siku ABC (siku-siku di B) yang terletak pada bidang ABCD. Sehingga untuk menentukan panjang diagonal bidang AC kita dapat menggunakan rumus

Karena, kubus memiliki panjang rusuk yang sama yaitu s, maka rumus di atas juga berlaku untuk diagonal bidang yang lain pada kubus. Dengan demikian secara umum berlaku

Sedangkan, untuk menentukan diagonal bidang dari suatu balok perhatikan gambar balok PQRS.TUVW berikut

PQRS.TUVW merupakan balok yang mempunyai 3 kelompok rusuk yang terdiri dari kelompok panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t). Ketiga kelompok tersebut adalah
Kelompok panjang (p)
PQ, RS, TU, dan VW dengan PQ = RS = TU = VW = p
Kelompok lebar (l)
QR, SP, UV, dan WT dengan QP = SP = UV = WT = l
Kelompok tinggi (t)
PT, QU, RV, dan SW dengan PT = QU = RV = SW = t

Balok PQRS.TUVW juga memiliki 3 pasangan bidang sisi yang saling berhadapan dan kongruen yaitu
PQRS dan TUVW sehingga PQRS = TUVW
PQUT dan RSWV sehingga PQUT = RSWV
QRVU dan PSWT sehingga QRVU = PSWT

Dari ketiga pasangan bidang sisi tersebut kita akan mendapatkan 12 diagonal bidang yang terbagi menjadi 3 kelompok yaitu
PR = QS = TV = UW
PU = QT = RW = SV
QV = RU = PW = ST

Kita akan menentukan salah satu dari masing-masing kelompok diagonal bidang tersebut caranya adalah dengan memanfaatkan teorema pythagoras sama seperti pada kubus

Dengan demikian pada balok PQRS.TUVW kita akan mendatkan 12 diagonal bidang yang terbagi menjadi 3 kelompok yang panjangnya dapat ditentukan menggunakan rumus

Diagonal Ruang Kubus dan Balok
Diagonal ruang suatu kubus dapat ditunjukkan oleh diagonal ruang kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Kubus memiliki empat diagonal ruang yang sama panjang. Dari gambar di atas telah ditunjukkan salah satu diagonal ruang kubus ABCD.EFGH yaitu BH diagonal kubus yang lainnya adalah AG, CE, dan DF dimana AG = BH = CE = DF. Diagonal ruang BH dapat dicari dengan memanfaatkan segitiga siku-siku BDH dengan siku-siku di D. BD merupakan diagonal bidang dari kubus sedangkan DH merupakan rusuk kubus. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh bahwa

Sehingga berlaku secara umum, untuk menentukan panjang diagonal ruang suatu kubus dapat menggunakan rumus

Diagonal ruang suatu balok dapat ditunjukan melalui diagonal ruang balok PQRS.TUVW di bawah ini.

Balok memilik empat diagonal ruang yang sama panjang. Pada gambar di atas ditunjukan salah satu diagonal ruang dari balok PQRS.TUVW yaitu RT diagonal-diagonal ruang lainya dari balok PQRS.TUVW adalah QW, PV, dan SU dengan PV = QW = RT = SU. Diagonal ruang RT dapat dicari dengan memanfaatkan segitiga siku-siku PRT dengan siku-siku di P. PR merupakan diagonal bidang dari kubus sedangkan PT merupakan tinggi (t) balok. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh bahwa

Sehingga dapat disimpulkan untuk menentukan panjang diagonal ruang suatu balok dapat menggunakan rumus

Bidang Diagonal Kubus dan Balok

Bidang diagonal suatu kubus dapat digambarkan melalui bidang diagonal kubus ABCD.EFGH berikut.

Bidang diagonal kubus berbentuk bidang segi empat atau persegi panjang. Hal ini karena bidang diagonal kubus terbentuk dari rusuk dan diagonal bidang kubus. Hal ini berarti untuk menentukan luas maupun keliling dari bidang diagonal kubus dapat menggunakan rumus luas dan keliling persegi panjang. Kubus sendiri memiliki 6 buah bidang diagonal yang kongruen. Pada kubus ABCD.EFGH yang termasuk bidang diagonal adalah ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, ADGF, dan BCHE

Bidang diagonal suatu balok dapat digambarkan melalui bidang diagonal balok PQRS.TUVW berikut

Bidang diagonal balok berbentuk segi empat (pada umunya persegi panjang). Balok memiliki 6 buah bidang diagonal yang terdiri dari 3 pasangan bidang diagonal yang kongruen. Pada balok PQRS.TUVW yang termasuk bidang diagonal adalah PRVT, QSWU, PQVW, RSTU, PSVU, dan QRWT dimana PRVT kongruen dengan QSWU, PQVW kongruen dengan RSTU, dan PSVU ongruen dengan PRVT. Sedangkan untuk mencari keliling dan luasnya sama seperti mencari keliling dan luas persegi panjang. Dalam prakteknya nanti kita harus hati-hati di dalam menentukan sisi-sisi dari bidang diagonal yang kita cari

Demikian tadi mengenai diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal kubus dan balok. Semoga bermanfaat