Pembagian Suku Banyak dan Contoh Soalnya

Dalam bahasan kali ini, kita akan membahas mengenai pembagian suku banyak. Dalam hal ini, pembagian suku banyak yang akan dibahas kita batasi dari segi pembaginya yaitu, pembagian suku banyak dengan (x – k), (ax + b), dan (ax² + bx + c)

Pembagian dengan (x – k)

Jika pembagi suatu suku banyak/polinomial adalah (x – k), maka persamaan pembagian dapat dituliskan sebagai berikut

f(x) = P(x) H(x) + S
atau
f(x) = (x – k) H(x) + S

Dimana f(x) merupakan suku banyak, (x – k) adalah pembaginya, H(x) adalah hasil baginya, dan S merupakan sisa pembagiannya. Oleh karena pembagi P(x) = x – k berderajat satu, maka sisa S maksimum berderajat nol atau berupa suatu konstanta yang tidak memuat variabel. Dari bentuk di atas kita akan mendapatkan Teorema Sisa 1 berikut

Teorema Sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah S = f(k)

Bukti:
f(x) = (x – k) H(x) + S
f(k) = (k – k) H(x) + S
f(k) = 0 H(x) + S
f(k) = S
Jadi, terbukti S = f(k)

Dengan kata lain kita akan mendapatkan sisa dari suatu pembagian f(x) dengan pembagi (x – k) dengan mensubstitusi k ke suku banyak f(x)

Untuk menentukan hasil bagi dan sekaligus sisa pembagian dari suatu suku banyak kita dapat menggunakan dua cara yaitu cara pembagian biasa (cara bersusun) dan cara bagan atau horner/skema. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:
x³ + 7x² + 4 dibagi (x – 2)
Penyelesaian:
Cara Biasa

Jadi, hasil baginya H(x) = x² + 9x + 18 dan sisa S = 40
Cara Skema/Horner

Jadi, hasil baginya H(x) = x² + 9x + 18 dan sisa S = 40

Dengan menggunakan Teorema Sisa 1, kita juga dapat menentukan sisa pembagiannya yaitu:

S = f(x)

S = f(2)

= (2)³ + 7(2)² + 4

= 8 + 28 + 4

= 40

Pembagian dengan (ax + b)

Pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b), dapat dinyatakan sebagai berikut

Nilai S (sisa) dapat dinyatakan dengan Teorema Sisa 2 berikut

Teorema Sisa 2

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah S = f ( -b/a )

Cara pembuktiannya hampir sama dengan Teorema Sisa 1.

Untuk lebih memahami pembagian suku banyak dengan (ax + b), perhatikan contoh berikut

Contoh 2

Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika 6x³ - 2x² – x + 7 dibagi (3x + 2)

Penyelesaian:

Untuk menyelesaiakan soal di atas akan digunakan dengan cara horner, untuk cara biasa silahkan anda coba sendiri

Dari cara horner di atas diperoleh H(x) = 6x² – 6x + 3, sehingga hasil baginya

dan sisa pembagiannya adalah 5

Pembagian dengan (ax² + bx + c)

Pembagian suku banyak dengan ax² + bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax² + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax² + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Dari pembagian dengan ax² + bx + c ini diperoleh Teorema Sisa 3 yaitu

Teorema Sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah S = px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Dalam hal ini, akan dibahas mengenai pembagian dengan cara biasa saja, karena lebih mudah digunakan dan berikut adalah contohnya

Contoh 3

Tentukanlah hasi bagi dan sisanya, jika 4x³ + x² + 2x – 5 dibagi (x² + 2x – 3)

Penyelesaian

Jadi, hasil baginya 4x - 7 dan sisanya adalah 28x - 26

Berikut ini adalah contoh soal lainnya yang berkaitan dengan pembagian suku banyak, yang mungkin akan menambah pemahaman anda mengenai pembagian suku banyak

Contoh 4

Tentukan nilai a sehingga 2x³ + x² – 13x + a habis dibagi (x – 2), kemudian tentukan hasil baginya

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan Teorema Sisa 1. Karena 2x³ + x² – 13x + a habis dibagi (x – 2) maka sisanya 0. Kita substitusikan x = 2 pada suku banyak

f(x) = S

f(2) = 0

2(2)³ + 2² – 13(2) + a = 0

16 + 4 - 26 + a = 0

-6 + a = 0

a = 6

Sehingga, suku banyak menjadi 2x³ + x² – 13x + 6. Untuk menentukan hasil baginya kita dapat menggunakan cara Horner