Pembuktian Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga serta Lingkaran Singgung Segitiga

Dari sebuah segitiga, kita dapat membuat lingkaran baik itu dalam segitiga maupun luar segitiga. Dimana pada lingkaran dalam segitiga, lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga dari dalam. Sedangkan pada lingkaran luar segitiga, lingkaran menyinggung ketiga titik sudut segitiga. Artikel kali ini, akan membahas mengenai pembuktian rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, jari-jari lingkaran luar segitiga dan jari-jari lingkaran singgung segitiga yang disertai uraian penurunannya atau pembuktiannya.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!

Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sebarang. Titik P, Q, dan R merupakan titik singgung antara segitiga ABC dengan lingkaran yang berpusat di O. OP = OQ = OR = r yang merupakan jari-jari dari lingkaran O. Panjang BC = a, AC = b, dan AB = c. Dari titik A, B, C, dan O terbentuk 3 buah segitiga yaitu segitiga AOB, segitiga AOC, dan segitiga BOC dengan tinggi sama yaitu r. Luas dari masing-masing segitiga tersebut adalah
Luas Segitiga AOB = 1/2 x AB x OR
Luas Segitiga AOC = 1/2 x AC x OQ
Luas Segitiga BOC = 1/2 x BC x OP

Untuk menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga AOB kita dapat menggunakan persamaan bahwa Luas Segitiga ABC sama dengan jumlah Luas Segitiga AOB, Luas Segitiga AOC dan Luas Segiitiga BOC atau dapat ditulis sebagai berikut

Jadi, rumus jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga adalah

Dengan s = setengah keliling atau s = ½ (a + b + c) dan L = luas segitiga. Luas segitiga dapat ditentukan dua cara yaitu
L = ½ x Alas x Tinggi

Rumus di atas dapat digunakan apabila alas dan tinggi segitiga dapat ditentukan dengan jelas. Bila tidak, maka luas segitiga juga dapat ditentukan dengan formula Heron yaitu

Dari gambar segitiga ABC di atas, diperoleh juga rumus jarak titik sudut segitiga terhadap titik singgung dengan lingkarannya.

Misalkan panjang AR = AQ = x, BR = BP = y, dan CP =CQ = z. Sehingga
AR + BR = AB atau x + y = c
BP + CP = BC atau y + z = a
AQ + CQ = AC atau x + z = b

Jadi,

x = s – (y + z) = s – a

y = s – (x + z) = s – b

z = s – (x + y) = s – c

atau

AR = AQ = s – a

BR = BP = s – b

CP = CQ = s – c

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang terbentuk melalui ketiga titik sudut suatu segitiga. jika digambarkan maka di dalam lingkaran terdapat sebuah segitiga yang titik-titik sudutnya dilalui oleh lingkaran. Misalkan, terdapat segitiga sebarang ABC dengan panjang sisi-sisi dihadapan sudut A= a, sudut B = b, dan C = c. Lingkaran O merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, sehingga segitiga ABC berada di dalam lingkaran O. Untuk lebih jelasnya berikut adalah ilustrasinya

Selanjutnya, CD merupakan garis tinggi dari segitiga ABC dan Garis CE merupakan diameter lingkaran (d = 2r). Segitiga ACE sebangun dengan segitiga BCD. Hal ini karena sudut BDC sama dengan sudut CAE = 90o (Sudut CAerupakan sudut keliling yang menghadap diameter), sudut AEC sama dengan sudut CBD karena kedua sudut menghadap busur yang sama, sehingga ACE juga sama dengan sudut BCD. Ini berarti dapat disimpulkan keduanya sebangun. Dari kesebangunan tersebut diperoleh bahwa

Secara umum, karena ½ x CD x AB adalah luas segitiga ABC maka secara umum rumus jari-jari lingkaran luar segitiga adalah

Dengan a, b, c adalah panjang sisi-sisi dari segitiga dan L adalah luas segitiga yang dapat ditentukan dengan

L = ½ x alas x tinggi

atau

Rumus Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran singgung segitiga sendiri merupakan lingkaran yang menyinggung salah satu sisi suatu segitiga dari luar serta menyinggung perpanjangan dari sisi-sisi yang lain dari segitiga tersebut. Berikut ini saya akan coba menguraikan penurunan rumus jari-jari lingkaran singgung segitiga.

Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah

Misalkan dibuat lingkaran yang menyinggung sisi a, maka lingkaran singgung segitiga tersebut dapat digambarkan melalui gambar berikut.

Dari gambar terlihat bahwa, lingkaran singgung berpusat di O dengan menyinggung sisi a serta menyinggung perpanjangan dari sisi b dan c. Jari-jari lingkaran singgung segitiga yang menyinggung sisi a disebut dengan r_a . ODAE, ODCF, dan OFBE merupakan layang-layang garis singgung. Panjang EB = FB = p, DC = FC = (a - p), serta panjang OD = OF = OE = r_a . Untuk menentukan panjang OA dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
OA² = AD² + OD² .......1)
OA² = AE² + OE² ........2)

Dari 1) dan 2) diperoleh

Untuk menentukan luas layang-layang garis singgung ODAE dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
Luas ODAE = 2 x L. Segitiga OEA
Luas ODAE = 2 x ½ x OE x EA
Luas ODAE = OE x EA
Luas ODAE = r_a x (c + p)
Luas ODAE = r_a x (c + s – c)
Luas ODAE = r_a x s ....................3)

Luas ODAE = Luas Segitiga ABC + Luas ODCF + Luas OEBF
Luas ODAE = Luas Segitiga ABC + 2 x Luas Segitiga ODC + 2 x Luas Segitiga OEB
Luas ODAE = Luas Segitiga ABC + 2 x ½ x OE x EB + 2 x ½ x OD x DC
Luas ODAE = Luas Segitiga ABC + OE x EB + OD x DC
Luas ODAE = Luas Segitiga ABC + r_a x p + ra x (a – p)
Luas ODAE = luas Segitiga ABC + r_a x (p + a – p)
Luas ODAE = Luas Segitiga ABC + r_a x a ..................4)

Dari 3) dan 4) diperoleh

Sehingga, secara umum rumus jari-jari lingkaran singgung segitiga yang menyinggung sisi a dapat dinyatakan dengan

Dimana, s merupakan setengah keliling segitiga atau s = ½ (a + b + c) dan L merupakan luas segitiga yang dapat dicari dengan dua cara yaitu setengah dikali panjang alas dikali tinggi (L = ½ x alas x tinggi) atau dengan menggunakan formula Heron yaitu

Dengan cara yang sama pula, kita akan mendapatkan rumus jari-jari lingkaran singgung yang menyinggung sisi b dan sisi c. Sehingga, secara lengkap rumus jari-jari lingkaran segitiga dapat dinyatakan sebagai berikut.