Geometri Transformasi: Rotasi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap. Rotasi dapat kita lihat contohnya perputaran gasing, perputaran bumi pada porosnya, bahkan matahari pun juga berotasi. Rotasi matahari berlansung selama 27 hari dalam 1 periode. Namun, rotasi kali ini bukan membahas mengenai rotasi pada gasing, bumi, ataupun matahari. Rotasi yang akan dibahas berkaitan dengan geometri transformasi.

Rotasi Bumi

Rotasi dalam kaitan geometri transformasi adalah suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik yang lainya dengan cara memutar. Bayangan hasil rotasi akan kongruen dengan aslinya sehingga Rotasi termasuk transformasi isometri sama seperti Translasi (Perpindahan) dan Refleksi (pencerminan)

[Baca : Geometri Transformasi: Translasi]
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]

Rotasi pada suatu objek ditentukan oleh beberapa faktor yaitu

Pusat Rotasi, yaitu berupa titik yang digunakan sebagai pusat dari rotasi
Sudut Rotasi, yaitu besar sudut yang digunakan untuk menentukan jauhnya rotasi
Arah Rotasi, dalam hal ini arah rotasi dapat bertanda positif yang maksudnya berlawanan denganarah jarum jam dan bertanda negatif yang maksudnya adalah serarah dengan jarum jam.

Dalam koodinat kartesius rotasi menurut sumbu atau pusatnya dibedakan menjadi dua yaitu rotasi dengan pusat di O(0, 0) dan rotasi dengan pusat di A(a, b)

Rotasi Dengan Pusat di O(0, 0)

Perhatikan gambar di bawah!

Dari gambar terlihat bahwa titik P dirotasi sejauh $\alpha$ terhadap titik pustat O(0, 0). $\theta$ adalah sudut antara sumbu-x dengan OP. P' adalah bayangan dari P dan r adalah jarak antara pusat dengan titik P dimana OP = OP' = r. Rotasi tersebut dinotasikan dengan
$P(x, y) \xrightarrow[]{R(O, \alpha )} P'(x', y')$

Dari titik P(x, y) dan sudutnya ($\theta$) diperoleh bahwa
x = r cos$\theta$
y = r sin$\theta$

Kemudian dari titik P' dan sudutnya ($\alpha$ + $\theta$) diperoleh
x' = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$

y' = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Jadi rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan pusat di O(0, 0) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Selanjutnya, telah diketahui bahwa terdapat beberapa nilai perbandingan trigonometri terutama pada sinus dan cosinus yang nantinya dapat diselesaikan dengan mudah. Sudut-sudut besar rotasi yang mudah diselesaikan diantaranya -270$^{o}$, -180$^{o}$, -90$^{o}$, 0$^{o}$, 90$^{o}$, 180$^{o}$, dan 270$^{o}$ karena sudut-sudut tersebut akan bernilai -1, 0, 1 (Cobalah cari nilai sinus dan cosinus sudut-sudut tersebut). Sehingga didapat hasil rotasi dengan pusat di O(0, 0) seperti dalam tabel berikut

No	Rotasi	Bayangan
1	R(O, -270$^{o}$)	(-y, x)
2	R(O, -180$^{o}$)	(-x, -y)
3	R(O, -90$^{o}$)	(y, -x)
4	R(O, 0$^{o}$)	(x, y)
5	R(O, 90$^{o}$)	(-y, x)
6	R(O, 180$^{o}$)	(-x, -y)
7	R(O, 270$^{o}$)	(y, -x)

Untuk lebih jelasnya mengenai rotasi dengan pusat di O(0, 0) perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Titik P(2, 10) dirotasi $\frac{\pi}{3}$ dengan pusat putar O(0, 0).
Penyelesaian
P(2, 10) maka x = 2 dan y = 10
sin $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} $
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
x' = 2 cos$\frac{\pi}{3}$ - y sin$\frac{\pi}{3}$
x' = 2 $\times$$\frac{1}{2} $ - 10 $\times$$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
x' = 1 - 5$\sqrt{3}$

y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
y' = 2 sin$\frac{\pi}{3}$ + 10 cos$\frac{\pi}{3}$
y' = 2 $\times$$\frac{1}{2}\sqrt{3} $ + 10 $\times$$\frac{1}{2}$
y' = $\sqrt{3} $ + 5
Jadi, bayangan P adalah (1 - 5$\sqrt{3}$, $\sqrt{3} $ + 5)

Contoh 2
Tentukan bayangan garis x - y + 3 = 0 dirotasi sebesar 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0)
Penyelesaian
Rotasi 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0), maka
x' = -y atau y = -x'
y' = x atau x = y'

Sehingga bayangannya
y' - (-x') + 3 = 0
x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangan garis x - y + 3 = 0 adalah x + y + 3 = 0

Rotasi Dengan Pusat di A(a, b)

Perhatikan gambar berikut

Jika P(x, y) dirotasi sebesar $\alpha$ dengan pusat di A(a, b) dengan bayangan P'(x', y'), maka yang terjadi adalah pergeseran pusat rotasi a untuk absisnya dan b untuk ordinatnya dari titik pusat O(0, 0). Sehingga diperoleh
x - a = r cos$\theta$
y - b = r sin$\theta$

serta
x' - a = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' - a = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' - a = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a

y' - b = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' - b = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' - b = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Jadi rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan pusat di A(a, b) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Agar, lebih memahaminya silahkan simak contoh soal berikut

Contoh 3

Tentukan bayangan P(2, -6) dirotasi 30$^{o}$ dengan pusat rotasi pada titik A(2, 4)!

Penyelesaian

P(2, -6) maka x = 2 dan y = -6

sin 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} $

cos 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$

A(2, 4) maka a = 2 dan b = 4

x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a

x' = (2 - 2) cos30$^{o}$ - (-6 - 4) sin30$^{o}$ + 2

x' = 0 - (-10)$\frac{1}{2} $ + 2

x' = 5 + 2