Kontinuitas Suatu Fungsi

Artikel kali ini akan membahas mengenai kontinuitas atau continuity dalam isitilah bahasa inggrisnya. Kontinuitas dapat disamakan artinya dengan kesinambungan. Lawan kontinuitas adalah diskontinuitas, dimana jika kontinuitas itu kesinambungan maka diskontinuitas adalah tak sinambung. Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi.

Kontinuitas suatu fungsi sangat erat kaitannya dengan limit fungsi, maka dari itu prasyarat memahami materi limit sangat diperlukan di sini. Kontinuitas dan diskontinuitas dapat digambarkan dengan tiga buah grafik di bawah ini.

Grafik (1) menggambarkan suatu fungsi yang kontinu, grafik (2) terdapat lubang (lingkaran terbuka) menggambarkan suatu fungsi yang diskontinu, dan grafik (3) terlihat jelas jika fungsi tersebut diskontinu juga. Nah, dapatkah kita menengetahui suatu fungsi kontinu atau tidak tanpa menggambarnya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, simaklah penjelasan di bawah ini.

Syarat Kontinuitas Suatu Fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu atau tidak apabila memenuhi beberapa syarat. Simaklah definisi berikut
Misalkan f(x) terdefinisi dalam interval yang memuat x = a. Fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a jika dan hanya jika $lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Suatu fungsi f(x) dapat dikatakan kontinu di x = a apabila memenuhi tiga syarat
1. f(a) harus ada (terdefinisi)
2. $lim_{x \to a} f(x) $ harus ada
3. $lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Jika salah satu diantara ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi f(x) tidak kontinu pada interval x = a.

Untuk lebih jelasnya mari simak contoh soal beserta pembahasanya berikut ini

Contoh 1
Selidiki, apakah fungsi $f(x) = x^3 - x + 1$ kontinu di x = 1?
Penyelesaian
Syarat 1
$f(1) = 1^3 - 1 + 1 = 1$ (ada)
Syarat 2
$lim_{x \to 1} x^3 - x + 1 = 1^3 - 1 + 1 = 1$ (ada)
Syarat 3
$f(1) = 1$ dan $lim_{x \to 1} f(x) = 1$, maka $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$
Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi $f(x) = x^3 - x + 1$ kontinu di x = 1

Contoh 2
Selidiki, apakah fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ kontinu di x = 2?
Penyelesaian
Syarat 1
$f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2}$ $ = \frac{0}{0} = $ tak terdefinisi (tidak ada)
Karena syarat 1 tidak terpenuhi, maka fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ tidak kontinu di x = 2

Contoh 3

Selidiki, apakah fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^3 - 1}{x - 1}, untuk x \neq 1 \\ 3 , untuk x = 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1?

Penyelesaian

Syarat 1

$f(1) = 3 (ada)

Syarat 2

$lim_{x \to 1} f(x) = lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{x - 1}$

$= lim_{x \to 1}\frac{(x - 1)(x^2 + x +1)}{x - 1}$

$= lim_{x \to 1}x^2 + x +1$

$= 1^2 + 1 +1$

$= 3$ (ada)

Syarat 3

$f(1) = 3$ dan $lim_{x \to 1} f(x) = 3$, maka $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$
Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^3 - 1}{x - 1}, untuk x \neq 1 \\ 3 , untuk x = 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1.

Contoh 4

Selidiki, apakah fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x - 1, untuk x < 1 \\ x^2 + x - 2 , untuk x \geq 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1?

Penyelesaian

Syarat 1

$f(1) = 1^2 + 1 - 2 = 0$ (ada)

Syarat 2

$lim_{x \to 1^-} f(x) = lim_{x \to 1} x - 1$

$= 1 - 1$

$= 0$

$lim_{x \to 1^+} f(x) = lim_{x \to 1} x^2 + x - 2$

$= 1^2 + 1 -2$

$= 0$

Karena $lim_{x \to 1^-} f(x) = lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$ maka $lim_{x \to 1} f(x) = 0$ (ada)

Syarat 3

$f(1) = 0$ dan $lim_{x \to 1} f(x) = 0$, maka $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x - 1, untuk x < 1 \\ x^2 + x - 2 , untuk x \geq 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1.

Contoh 5

Diketahui fungsi f ditentukan dengan rumus

$f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^2 - 9}{x - 3}, untuk x \neq 3 \\ ax , untuk x = 3

\end{matrix}\right.$

Jika f(x) kontinu di x = 3, tentukan nilai a!

Penyelesaian

Karena f(x) kontinu di x = 3 (ketiga syarat terpenuhi)

Syarat 1

$f(3) = 3a$ (ada)

Syarat 2

$lim_{x \to 3} f(x) = lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}$

$= lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$

$= lim_{x \to 3}x + 3$