Mengenal Vektor

Kita mengenal dua besaran yaitu besaran Skalar dn Vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai sedangkan Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Vektor  dapat kita analogikan dalam perpindahan, misalkan suatu benda berpindah dari titik A ke titik B maka yang terkandung dalam perpindahan tersebut adalah jarak perpindahan dan arah perpindahan dari titik A sebagai titik pangkal ke titik B.

Vektor biasanya dinotasikan menurut pangkal dan ujungnya, misalkan $\vec{AB}$, ini berarti titik A sebagai titik pangkal (titik asal) dan titik B sebagai titik ujung (titik terminal). $\vec{AB}$ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal atau dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya  r  atau $\vec{r}$.

Komponen vektor dinyatakan dalam bentuk baris, kolom ataupun vektor basis. Vektor dalam bidang atau di R2, hanya memiliki dua komponen yaitu absis (x) dan ordinat (y). Sedangkan, vektor dalam ruang atau di R3, memiliki tiga komponen x, y, dan z.

Vektor di R2 memiliki  basis  $\hat{i}$ dan $\hat{j}$ saja, sedangkan vektor di R3 memiliki  basis  $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$. Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor baris dan vektor kolom. Misalkan $\vec{r}$ = (x y) atau $\vec{r}$ = (x y z) dalam bentuk vektor kolom akan menjadi $\vec{r}$ $=\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$
atau  $\vec{r}$ $=\begin{pmatrix}
x\\ y
\\ z

\end{pmatrix}$

Jika telah memahami pengertian dan notasi vektor kita akan lanjutkan dengan materi lainnya

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama.

Vektor Nol

Suatu vektor disebut vektor nol apabila panjangnya nol. Arah dari vektor nol tak tentu, misalnya $\vec{AA}$, $\vec{BB}$, $\vec{CC}$, dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan $\vec{O}$

Panjang Vektor

Panjang suatu vektor dituliskan dengan menambahkan tanda mutlak pada vektor, misalkan panjang vektor $\vec{r}$ ditulis $|\vec{r}|$. Jika $\vec{r}$ = (x, y) adalah suatu vektor dalam bidang, maka panjang vektor $\vec{r}$ dapat ditentukan dengan
$|\vec{r}|$ $= \sqrt{x^2 + y^2}$
Sedangkan, jika $\vec{r}$ = (x, y, z) adalah suatu vektor dalam ruang, maka panjang vektor $\vec{r}$ dapat ditentukan dengan rumus
$|\vec{r}|$ $= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Vektor Satuan

Vektor satuan yang searah dengan sumbu X positif, Y positif, dan z positif, yaitu berturut-turut vektor $\hat{i}$, $\hat{j}$, dan $\hat{k}$. Vektor-vektor  satuan $\hat{i}$, $\hat{j}$, dan $\hat{k}$ mempunyai panjang satu satuan dan dalam sistem koordinat ruang mengikuti aturan putaran kanan  atau aturan tangan kanan.
Untuk sembarang vektor $\vec{r}$ yang bukan merupakan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuannya. Vektor satuan $\vec{r}$ dilambangkan dengan $\hat{j}$ (dibaca e topi), vektor ini searah dengan vektor $\vec{r}$ den panjangnya sama dengan satu satuan

Jika $\vec{r}$ = (x, y) adalah suatu vektor dalam bidang, maka vektor satuan dari $\vec{r}$ adalah
$\hat{e}$ $= \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$
atau
$\hat{e}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$
($\vec{r}$ dalam bentuk vektor kolom)

Jika $\vec{r}$ = (x, y, z) adalah suatu vektor dalam ruang, maka vektor satuan dari $\vec{r}$ adalah
$\hat{e}$ $= \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$
atau
$\hat{e}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x\\ y
\\ z

\end{pmatrix}$
($\vec{r}$ dalam bentuk vektor kolom)

Operasi Vektor

Operasi vektor dapat dilakukan dengan sistem geometri ataupun sistem komponen. Secara geometris operasi penjumlahan dan pengurangan vektor dapat di baca pada Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Dengan sistem  komponen dapat kita mulai dari vektor dalam bidang, misalkan $\vec{a}$ $= \begin{pmatrix}
x_1\\ y_1

\end{pmatrix}$, $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_2\\ y_2

\end{pmatrix}$, dan vektor ruang $\vec{c}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x_1\\ y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$, $\vec{d}$ $=\frac{1}{|\vec{r}|}\begin{pmatrix}
x_2\\ y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$ serta k adalah bilangan real.

Penjumlahan
Dalam Bidang (R2)
$\vec{a}$ + $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1 + x_2\\ y_1 + y_2

\end{pmatrix}$
Dalam Ruang (R3)
$\vec{c} + \vec{d}$ $=\begin{pmatrix}
x_1 + x_2\\ y_1 + y_2
\\ z_1 + z_2

\end{pmatrix}$

Pengurangan
Dalam Bidang (R2)
$\vec{a}$ + $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1 - x_2\\ y_1 - y_2

\end{pmatrix}$
Dalam Ruang (R3)
$\vec{c} + \vec{d}$ $=\begin{pmatrix}
x_1 - x_2\\ y_1 - y_2
\\ z_1 - z_2

\end{pmatrix}$

Perkalian dengan Skalar
Dalam Bidang (R2)
$k\vec{a}$ $= \begin{pmatrix}
kx_1\\ ky_1

\end{pmatrix}$
Dalam Ruang (R3)
$k\vec{c}$ $=\begin{pmatrix}
kx_1\\ ky_1
\\ kz_1

\end{pmatrix}$

Sifat-sifat yang berlaku ( dalam bidang dan ruang) pada operasi vektor
Komutatif, $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{b}$ + $\vec{a}$
Asosiatif, $\vec{a}$ + ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) + $\vec{c}$
Identitas, $\vec{a}$ + 0 = $\vec{a}$
Invers Jumlah, $\vec{a}$ + (-$\vec{a}$) = 0

Rumus Jarak di R3

Jika diketahui titik P($x_1$, $y_1$, $z_1$) dan titik Q($x_2$, $y_2$, $z_2$) terletak di R3, maka ruas garis berarah $\vec{PQ}$ mewakili vektor $\begin{pmatrix}
x_2-x_1\\ y_2-y_1
\\ z_2-z_1

\end{pmatrix}$

Panjang ruas garis PQ adalah jarak antara titik P dan titik Q yang dapat ditentukan dengan rumus
$\vec{PQ}$ $=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang memiliki titik pangkal koordinat di pusat koordinat O. Semua vektor dapat dinyatakan dalam vektor posisi. Misalkan A merupakan suatu titik, vektor $\vec{a}$ adalah vektor posisi yang mewakili ruas garis berarah $\vec{OA}$

Banyak hal yang masih kurang dalam penjelasan di atas, materi vektor lainnya dapat dilihat pada artikel lainnya. Seperti Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain, Rumus Pembagian Ruas Garis di R3, dan Perkalian Skalar Dua Vektor.

Share :