Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Selain rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus-rumus trigonometri yang tak kalah penting adalah rumus perkalian, penjumlahan, serta pengurangan sinus dan cosinus. Ketiga rumus ini sangat erat kaitanya datu sama lain. Untuk menurunkan rumus perkalian sinus dan cosinus maka diperlukan pemahaman tentang rumus jumlah dan selisih dua sudut. Sedangkan, untuk penjumlahan maupun pengurangan sinus serta cosinus maka diperlukan pengetahuan tentang rumus perkalian sinus dan cosinus.

Untuk itu, pertama akan dibahas rumus perkalian sinus dan cosinus terlebih dahulu mengingat rumus jumlah dan selisih dua sudut telah dibahas pada artikel sebelumnya.

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

Misalkan dua sudut sembarang $\alpha$ dan $\beta$, terdapat dua rumus perkalian antara sinus dengan cosinus yang akan kita cari di sini yaitu $2sin\alpha cos\beta$ dan $2cos\alpha sin\beta$maka rumus perkalian sinus dan cosinus dapat ditentukan dengan teknik eliminasi

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta) = 2sin\alpha cos\beta$

Jadi, didapat rumus perkalian untuk $2sin\alpha cos\beta$ sebagai berikut

$2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)$

Rumus yang kedua, dapat ditentukan dengan cara yang sama yaitu dengan teknik eliminasi yaitu

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta) = 2cos\alpha sin\beta$

Jadi, didapat rumus perkalian untuk $2cos\alpha sin\beta$ sebagai berikut

$2cos\alpha sin\beta = sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta)$

Dua rumus di atas juga sering dituliskan dalam bentuk lain yaitu

$sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$

$cos\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta))$

Untuk lebih jelasnya mengenai rumus perkalian sinus dan cosinus ini, perhatikan contoh berikut!

Contoh 1

Hitunglah nilai $4sin52,5^o cos7,5^o $!

Penyelesaian

$4sin52,5^o cos7,5^o = 2(2sin52,5^o cos7,5^o)$

$= 2(\sin(52,5^o+7,5^o) + sin(52,5^o+7,5^o))$

$= 2(sin60^o + sin45^o)$

$= 2(\frac{1}{2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \sqrt{2})$

$= \sqrt{3} + \sqrt{2})$

Selanjutnya, selain perkalian antara sinus dengan cosinu atau sebaliknya. Rumus perkalian antara sinus dengan sinus maupun cosinus dengan cosinus dapat juga kita tentukan dengan cara yang sama (eliminasi) yaitu dengan memanfaatkan rumus jumlah dan selisi sudut terutama pada cosinus.

$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta) = 2cos\alpha cos\beta$

Jadi, kita mendapatkan rumus perkalian $2cos\alpha cos\beta$ yaitu

$2cos\alpha cos\beta = cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta)$

Dengan cara yang sama juga kita akan mencai rumus perkalian antara sinus dengan sinus yaitu

$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta) = -2sin\alpha sin\beta$

Jadi, kita mendapatkan rumus perkalian $2sin\alpha sin\beta$ yaitu

$2sin\alpha sin\beta = -(cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta))$

Dua rumus di atas juga sering dituliskan dalam bentuk lain yaitu

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta))$

$sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta))$

Untuk, lebih jelasnya perhatikan contoh soal beserta pembahasannya berikut ini

Contoh 2

Hitunglah nilai $sin37,5^o sin7,5^o $!

Penyelesaian

$sin37,5^o sin7,5^o = -\frac{1}{2}(cos(37,5^o+7,5^o) - cos(37,5^o-7,5^o))$

$= -\frac{1}{2}(cos45^o - cos30^o)$

$= -\frac{1}{2}(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3})$

$= -\frac{1}{4}(\sqrt{2} - \sqrt{3})$

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Dari rumus perkalian sinus dan cosinus kita peroleh bahwa

$sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta) = 2sin\alpha cos\beta$

$sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta) = 2cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta) = 2cos\alpha cos\beta$

$cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta) = -2sin\alpha sin\beta$

Dengan menetapkan variabel-variabel yang baru yaitu $\alpha + \beta = A$ dan $\alpha - \beta = B$. Dengan teknik eliminasi pula akan didapatkan hubungan antara variabel-variabel yang lama dengan yang baru yaitu

$\alpha + \beta = A$

$\alpha - \beta = B$

$2\alpha = A + B$

$\alpha = \frac{1}{2}(A + B)$

$\alpha + \beta = A$

$\alpha - \beta = B$

$2\beta = A - B$

$\beta = \frac{1}{2}(A- B)$

Sehingga, apabila kita substitusikan $\alpha + \beta = A$, $\alpha - \beta = B$, $\alpha = \frac{1}{2}(A + B)$, dan $\beta = \frac{1}{2}(A- B)$ ke empat persamaan sebelumnya maka akan diperoleh rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus sebagai berikut

$sinA + sinB = 2sin\frac{1}{2}(A + B) cos\frac{1}{2}(A - B)$

$sinA - sinB = 2cos\frac{1}{2}(A + B) sin\frac{1}{2}(A - B)$

$cosA + cosB = 2cos\frac{1}{2}(A + B) cos\frac{1}{2}(A - B)$

$cosA - cosB = -2sin\frac{1}{2}(A + B) sin\frac{1}{2}(A - B)$

Untuk penerapan rumusnya, berikut ini akan disajikan contoh soal beserta pembahasannya

Contoh 3

Hitunglah nilai dari $cos75^o - cos15^o$!

Penyelesaian

$cos75^o - cos15^o = -2sin\frac{1}{2}(75^o + 15^o) sin\frac{1}{2}(75^o - 15^o)$

$= -2sin\frac{1}{2}(90^o) sin\frac{1}{2}(60^o)$

$= -2sin45^o sin30^o$

$= -2\times \frac{1}{2} \sqrt{2} \times \frac{1}{2}$