Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Cosinus
Selain rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus-rumus trigonometri yang tak kalah penting adalah rumus perkalian, penjumlahan, serta pengurangan sinus dan cosinus. Ketiga rumus ini sangat erat kaitanya datu sama lain. Untuk menurunkan rumus perkalian sinus dan cosinus maka diperlukan pemahaman tentang rumus jumlah dan selisih dua sudut. Sedangkan, untuk penjumlahan maupun pengurangan sinus serta cosinus maka diperlukan pengetahuan tentang rumus perkalian sinus dan cosinus.
Untuk itu, pertama akan dibahas rumus perkalian sinus dan cosinus terlebih dahulu mengingat rumus jumlah dan selisih dua sudut telah dibahas pada artikel sebelumnya.
Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus
Misalkan dua sudut sembarang α dan β, terdapat dua rumus perkalian antara sinus dengan cosinus yang akan kita cari di sini yaitu 2sinαcosβ dan 2cosαsinβmaka rumus perkalian sinus dan cosinus dapat ditentukan dengan teknik eliminasi
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
+
sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ
Jadi, didapat rumus perkalian untuk 2sinαcosβ sebagai berikut
2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α−β)
Rumus yang kedua, dapat ditentukan dengan cara yang sama yaitu dengan teknik eliminasi yaitu
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
-
sin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ
Jadi, didapat rumus perkalian untuk 2cosαsinβ sebagai berikut
2cosαsinβ=sin(α+β)−sin(α−β)
Dua rumus di atas juga sering dituliskan dalam bentuk lain yaitu
sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α−β))
cosαsinβ=12(sin(α+β)−sin(α−β))
Untuk lebih jelasnya mengenai rumus perkalian sinus dan cosinus ini, perhatikan contoh berikut!
Contoh 1
Hitunglah nilai 4sin52,5ocos7,5o!
Penyelesaian
4sin52,5ocos7,5o=2(2sin52,5ocos7,5o)
=2(sin(52,5o+7,5o)+sin(52,5o+7,5o))
=2(sin60o+sin45o)
=2(12√3+12√2)
=√3+√2)
Selanjutnya, selain perkalian antara sinus dengan cosinu atau sebaliknya. Rumus perkalian antara sinus dengan sinus maupun cosinus dengan cosinus dapat juga kita tentukan dengan cara yang sama (eliminasi) yaitu dengan memanfaatkan rumus jumlah dan selisi sudut terutama pada cosinus.
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
+
cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ
Jadi, kita mendapatkan rumus perkalian 2cosαcosβ yaitu
2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α−β)
Dengan cara yang sama juga kita akan mencai rumus perkalian antara sinus dengan sinus yaitu
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
-
cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ
Jadi, kita mendapatkan rumus perkalian 2sinαsinβ yaitu
2sinαsinβ=−(cos(α+β)−cos(α−β))
Dua rumus di atas juga sering dituliskan dalam bentuk lain yaitu
cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(α−β))
sinαsinβ=−12(cos(α+β)−cos(α−β))
Untuk, lebih jelasnya perhatikan contoh soal beserta pembahasannya berikut ini
Contoh 2
Hitunglah nilai sin37,5osin7,5o!
Penyelesaian
sin37,5osin7,5o=−12(cos(37,5o+7,5o)−cos(37,5o−7,5o))
=−12(cos45o−cos30o)
=−12(12√2−12√3)
=−14(√2−√3)
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus
Dari rumus perkalian sinus dan cosinus kita peroleh bahwa
sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ
sin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ
cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ
cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ
Dengan menetapkan variabel-variabel yang baru yaitu α+β=A dan α−β=B. Dengan teknik eliminasi pula akan didapatkan hubungan antara variabel-variabel yang lama dengan yang baru yaitu
α+β=A
α−β=B
+
2α=A+B
α=12(A+B)
α+β=A
α−β=B
-
2β=A−B
β=12(A−B)
Sehingga, apabila kita substitusikan α+β=A, α−β=B, α=12(A+B), dan β=12(A−B) ke empat persamaan sebelumnya maka akan diperoleh rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus sebagai berikut
sinA+sinB=2sin12(A+B)cos12(A−B)
sinA−sinB=2cos12(A+B)sin12(A−B)
cosA+cosB=2cos12(A+B)cos12(A−B)
cosA−cosB=−2sin12(A+B)sin12(A−B)
Untuk penerapan rumusnya, berikut ini akan disajikan contoh soal beserta pembahasannya
Contoh 3
Hitunglah nilai dari cos75o−cos15o!
Penyelesaian
cos75o−cos15o=−2sin12(75o+15o)sin12(75o−15o)
=−2sin12(90o)sin12(60o)
=−2sin45osin30o
=−2×12√2×12
=−12√2
Contoh 4
Tunjukkan bahwa cos10o+cos110o+cos130o!
Penyelesaian
Penyelesaian
cos10o+cos110o+cos130o =2cos12(10o+110o)cos12(10o−110o)+cos130o
=2cos12(120o)cos12(100o)+cos130o
=2cos60ocos(−50o)+cos130o
=2×12cos50o+cos130o
=cos50o+cos130o
=2cos12(50o+130o)cos12(50o−130o)
=2cos12(180o)cos12(−80o)
=2cos90ocos(−40o)
=0 (terbukti)
Demikianlah mengenai rumus perkalian, penjumlahan, dan pengurangan sinus dan cosinus, semoga bermanfaat.
Post a Comment for "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Cosinus"
Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan