Penggunaan Turunan Untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva

Materi turunan dapat digunakan untuk menetukan persamaan garis singgung kurva, fungsi naik dan turun, serta nilai stasioner suatu fungsi. Pada bahasan kali ini, akan fokus membahas mengenai penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva. Namun, sebelum melangkah lebih jauh ada baiknya sebelum mempelajari materi ini pastikan anda telah menguasai materi turunan fungsi aljabar serta materi persamaan garis lurus.

Nah, sekarang coba perhatikan gambar grafik fungsi $y = f(x)$ di bawah ini. Titik P merupakan titik tetap yang terletak pada kurva $y = f(x)$, sedangkan titik Q merupakan titik yang bergerak sepanjang kurva. Garis yang melalui titik P dan Q disebut dengan tali busur. Apabila titik Q mendekati P maka garis PQ akan menjadi garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik P. Jadi garis singgung di titik P merupakan keadaan limit dari tali busur PQ ketika titik Q bergerak mendekati P.

Gambar berikutnya, merupakan keadaan dimana titik Q mendekati P. Misalkan titik P mempunyai absis di $a$ dan Q mempunyai absis di $a + h$. Maka, ordinat titik P adalah $f(a)$ dan ordinat titik Q adalah $f(a + h)$.

Apabila $h$ mendekati 0, maka titik Q akan mendekati P. Agar mudah dipahami, ketika titik Q yang paling dekat dengan P diganti dengan S. Sehingga PS merupakan garis singgung kurva. Gradien garis PS dapat ditentukan dengan

$m = lim_{h \to 0}\frac {f(a + h) - f(a)}{h}$

$m = f'(a)$

Dengan demikian, untuk sembarang P yang terletak pada kurva $y = f(x)$ dengan koordinat $(x, f(x))$ rumus sebelumnya dapat diperluas menjadi

$m = lim_{h \to 0}\frac {f(x + h) - f(x)}{h}$

$m = f'(x)$

Dengan bahasa yang lebih mudah, turunan dari $y = f(x)$ merupakan gradien garis singgung kurva di titik $(x, f(x)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasanya berikut ini.

Contoh 1

Tentukanlah gradien garis singgung kurva $y = x^2 + x$ di titik (-2, 2)!

Penyelesaian

$f'(x) = 2x + 1$

$m = f'(x)$

$m = f'(-2)$

$m = 2(-2) + 1$

$m = -3$

Dalam beberapa soal, tidak hanya gradien yang diminta namun sering kali kita juga diminta untuk menentukan persamaan garisnya. Untuk menetukan persamaan gari yang bergradien $m$ dan melalui titi $(x_1, y_1)$ dapat menggunakan rumus

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Nah, sekarang perhatikan contoh soal yang memuat uraian di atas berikut ini

Contoh 2

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva $y = 2 - 4x^2$ di titik (1, -2)!

Penyelesaian

$f'(x) = -8x$

$m = -8(1)$

$m = -8$

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y + 2 = -8(x - 1)$

$y + 2 = -8x + 8$

$y = -8x + 6$

Jadi, persamaan garis singgung kurvanya adalah $y = -8x + 6$

Contoh 3

Persamaan garis singgung kurva $y = x^2 - 4x + 8$ dengan absis di x = -1 adalah ...

Penyelesaian

$f'(x) = 2x - 4$

$m = 2(-1) - 4$

$m = -6$

Untuk menentukan persamaan garis diperlukan koordinat dari titik yang dilalui garis singgung. Dalam hal ini titik singgung garis dan kurba dapat digunakan. Untuk absis di x = -1 ordinat titik singgungnya adalah

$y = (-1)^2 - 4(-1) + 8$

$y = 1 + 4 + 8$

$y = 13$

Sehingga diperoleh titik singgung (-1, 13)

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 13 = -6(x - (-1))$

$y = -6x - 6 + 13$

$y = -6x + 7$

Contoh 4

Tentukan koordinat titik pada kurva $y = x^2 – 5$, sehingga garis singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 4!

Penyelesaian

Untuk meneylesaikan soal di atas maka, langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan turunan dari kurva

$f'(x) = 2x$

$m = f'(x)$

$4 = 2x$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Kemudian kita tentukan ordinat titik singgunynya

$y = x^2 – 5$

$y = 2^2 – 5$

$y = 4 – 5$

$y = -1$

Jadi, koordinat titik yang dimaksud adalah (2, -1)

Contoh 5

Temukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 – 3x + 3$, yang tegak lurus $y = x + 6$!

Penyelesaian

Soal di atas sangat erat sekali hubungannya dengan materi persamaan garis lurus, maka sangat disarankan untuk mengingat kembali materi tersebut. Langkah pertama yang dilakukan untuk menyelesaikan Contoh Soal 5 adalah menentukan gradien garis $y = x + 6$ yang kita sebut dengan $m_1$

$m_1 = 1$

Karena garis singgung tegak lurus garis $y = x + 6$ maka gradien garis singgung kurva $m_2$ dapat ditentukan dengan

$m_2 = - \frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1} = -1$

Langkah berikutnya, dilanjutkan dengan menentukan titik singgung antara garis dan kurva yaitu

$m = f'(x)$

$-1 = 2x - 3$

$-1 + 3 = 2x$

$2 = 2x$

$x = 1$

$y = x^2 – 3x + 3$

$y = 1^2 – 3(1) + 3$

$y = 1 – 3 + 3$

$y = 1$

Langkah terakhir adalah menentukan persamaan garis singgung yang dicari 

$y - y_1 = m_2 (x - x_1)$

$y - 1 = (-1)(x - 1)$

$y = -x + 1 + 1$

$y = -x + 2$

Jadi, persamaan garis singgung yag dicari adalah $y = -x + 2$

Demikianlah mengenai penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung kurva. Untuk penggunaan turunan lainnya akan dibahas pada artikel lainnya. Semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Share :