Cara Mencari Akar Pangkat 3 Tanpa Menggunakan Kalkulator
Memang mudah apabila mencari akar pangkat tiga apabila menggunakan kalkulator. Namun, tanpa kalkulator sebenarnya kita dapat menghitung nilai akar pangkat tiga dari suatu bilangan secara manual. Caranya hampir sama seperti mencari akar pangkat dua secara manual yang telah dijelaskan sebelumnya. Sama halnya dengan akar pangkat dua, menentukan akar pangkat tiga dapat dilakukan dengan menjabarkanya dalam bentuk perkalian bilangan, menebak/menaksirnya, dan dengan menggunakan "longhand method" yang dalam hal ini tidak sama dengan "longhand method" pada akar pangkat dua.
Dua cara pertama, tidak berlaku bagi sembarang bilangan. Sedangkan, cara terakhir dapat kita gunakan untuk sembarang bilangan. Di sini, saya tidak menawarkan metode atau cara cepat, bahkan ada beberapa sumber yang saya baca mengatakan metodenya dapat dilakukan dalam hitungan menit bahkan detik. Saya rasa tidak ada metode yang paling cepat digunakan, metode yang ada adalah metode yang mudah itu pun tergantung dari kemampuan pemahaman si pengguna. Untuk itu, saya menawarkan tiga metode berikut dalam menentukan akar pangkat 3.
Contoh 1
Tentukan nilai dari $\sqrt[3]{59319}$
Penyelesaian
Agar lebih mudah cobalah faktorkan 59319, sama seperti menjabarkan ke dalam pohon faktor. Sehingga diperoleh $59319 = 3 \times 3 \times 3 \times 13 \times 13 \times 13 = 3^3 \times 13^3$. Jadi, diperoleh
$\sqrt[3]{59319} = \sqrt[3]{3^3 \times 13^3} = 3 \times 13 = 39$
Contoh 2
Nilai dari $\sqrt[3]{74088}$ adalah ...
Penyelesaian
$\sqrt[3]{74088} = 6 \times 6 \times 6 \times 7 \times 7 \times 7 = 6^3 \times 7^3 $
Jadi, $\sqrt[3]{74088} = \sqrt[3]{6^3 \times 7^3} = 6 \times 7 = 42$
$8^3 = 512$
$9^3 = 729$
$11^3 = 1331$
Dan selanjutnya
$12^3 = 1728$
Cara di atas mungkin sering dilakukan oleh sebagian orang, namun akan menjadi masalah ketika akar pangkat tiga yang dicari memiliki nilai yang besar. Dengan demikian cara ini akan menjadi tidak efektif.
Cara ini, akan lebih efektif apabila kita mengkombinasikan dengan pola bilangan yang dimiliki oleh pangkat 3. Jika bilangan 1, 2, 3, ..., 9 dipangkatkan tiga secara berturut-turut maka akan menghasilkan pola
$1^3 = 1$ angka satuan 1
$2^3 = 8$ angka satuan 8
$3^3 = 27$ angka satuan 7
$4^3 = 64$ angka satuan 4
$5^3 = 125$ angka satuan 5
$6^3 = 216$ angka satuan 6
$7^3 = 343$ angka satuan 3
$8^3 = 512$ angka satuan 2
$9^3 = 729$ angka satuan 9
Perhatikan pola angka satuan yang dihasilkan setiap angka hampir semuanya sama dengan bilangan pokonya kecuali 2 yang akan menghasilkan 8, 3 akan menghasilkan angka satuan 7, 7 menghasilkan angka satuan 3, dan 8 menghasilkan angka satuan 2. Keempatnya bisa dibilang seperti "anak yang tertukar". Jadi cukup mudah diingat pola tersebut. Dengan mengetahui pola tersebut kita akan lebih mudah menaksir/menebak akar pangkat tiga yang sedang dicari. Kenapa? bilangan berikutnya seperti 11, 12, 13, dan seterusnya apabila dipangkatkan tiga akan menghasilkan pola yang sama. Bagaimana dengan 10, 20, 30, dan seterusnya? saya rasa anda sudah mengetahuinya.
Nah, selanjutnya kita akan belajar menaksir nilai akar pangkat tiga dengan catatan nilai akar pangkat tiga yang kita cari merupakan pangkat tiga sempurna.
Contoh 3
Tentukan nilai dari $\sqrt[3]{59319}$
Penyelesaian
Rentangan taksiran untuk akar pangkat tiga dari 59319 adalah bilangan kurang dari 100 karena $100^3 = 1000000$. Dengan demikian bilangan yang kita cari berupa bilangan puluhan. Jika melihat angka depan dari bilangan tadi yaitu 50 ribuan, maka angka puluhan yang paling tepat adalah 30-an sebab $30^3 = 27000$ angka yang paling mendekati dan tidak melebihi 50 ribuan. Kemudian dilihat dari angka satuan 59319 adalah 9. Berdasarkan pola bilangan satuan pangkat 3 yang telah dijelaskan sebelumnya maka angka satuan yang paling tepat untuk melengkapi jawaban tadi adalah 9. Jadi, nilai dari $\sqrt[3]{59319} = 39$
Contoh 4
Nilai dari $\sqrt[3]{140608}$ adalah ...
Penyelesaian
Rentangan taksiran nilai akar pangkat tiga dari 140608 di bawah 100. Dan angka puluhan yang paling mendekati adalah 50, kemudian dilihat dari satuan 140608 adalah 8, maka angka satuan yang tepat digunakan untuk melengkapi jawaban adalah 2. Jadi, nilai dari $\sqrt[3]{140608}$ adalah 52
Menggunakan Cara Bersusun atau Longhand Method
Ini adalah cara yang dapat dikatakan bisa digunakan untuk semua bilangan, jadi tidak masalah aakah akar pangkat tiga yang kita cari bilangan pangkat tiga sempurna atau tidak. Longhand Method untuk akar pangkat tiga berbeda dengan Longhand Method pada akar pangkat 2, perhitungan menjadi sedikit rumit. Mungkin menurut sebagian orang metode ini rumit dan berpikir untuk apa belajar cara manual, toh sudah ada kalkulator yang keberadaanya sangat gampang ditemukan/diakses? Percayalah jika setiap ilmu itu pasti berguna dan anda tidak akan ada ruginya jika kita belajar hal yang baru.
Langkah-langkah menentukan akar pangkat tiga dengan metode bersusun adalah
Dua cara pertama, tidak berlaku bagi sembarang bilangan. Sedangkan, cara terakhir dapat kita gunakan untuk sembarang bilangan. Di sini, saya tidak menawarkan metode atau cara cepat, bahkan ada beberapa sumber yang saya baca mengatakan metodenya dapat dilakukan dalam hitungan menit bahkan detik. Saya rasa tidak ada metode yang paling cepat digunakan, metode yang ada adalah metode yang mudah itu pun tergantung dari kemampuan pemahaman si pengguna. Untuk itu, saya menawarkan tiga metode berikut dalam menentukan akar pangkat 3.
Menjabarkan Dalam Bentuk Perkalian Bilangan
Cara pertama, dapat berhasil apabila akar yang kita cari merupakan bilangan pangkat tiga sempurna. Contohnya $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$ dan $125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$ serta masih banyak contoh lainnya. Dalam menggunakan metode ini keterampilan perkalian dan pembagian sangat diperlukan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikutContoh 1
Tentukan nilai dari $\sqrt[3]{59319}$
Penyelesaian
Agar lebih mudah cobalah faktorkan 59319, sama seperti menjabarkan ke dalam pohon faktor. Sehingga diperoleh $59319 = 3 \times 3 \times 3 \times 13 \times 13 \times 13 = 3^3 \times 13^3$. Jadi, diperoleh
$\sqrt[3]{59319} = \sqrt[3]{3^3 \times 13^3} = 3 \times 13 = 39$
Contoh 2
Nilai dari $\sqrt[3]{74088}$ adalah ...
Penyelesaian
$\sqrt[3]{74088} = 6 \times 6 \times 6 \times 7 \times 7 \times 7 = 6^3 \times 7^3 $
Jadi, $\sqrt[3]{74088} = \sqrt[3]{6^3 \times 7^3} = 6 \times 7 = 42$
Menaksir/Menebaknya
Menaksir atau menebaknya dapat dilakukan dengan cara "sembarang" atau bahasa yang lebih tepat mencoba-coba. Misalnya $\sqrt[3]{1728}$ kita coba memangkat tiga bilangan seperti 8, 9 dan 11!$8^3 = 512$
$9^3 = 729$
$11^3 = 1331$
Dan selanjutnya
$12^3 = 1728$
Cara di atas mungkin sering dilakukan oleh sebagian orang, namun akan menjadi masalah ketika akar pangkat tiga yang dicari memiliki nilai yang besar. Dengan demikian cara ini akan menjadi tidak efektif.
Cara ini, akan lebih efektif apabila kita mengkombinasikan dengan pola bilangan yang dimiliki oleh pangkat 3. Jika bilangan 1, 2, 3, ..., 9 dipangkatkan tiga secara berturut-turut maka akan menghasilkan pola
$1^3 = 1$ angka satuan 1
$2^3 = 8$ angka satuan 8
$3^3 = 27$ angka satuan 7
$4^3 = 64$ angka satuan 4
$5^3 = 125$ angka satuan 5
$6^3 = 216$ angka satuan 6
$7^3 = 343$ angka satuan 3
$8^3 = 512$ angka satuan 2
$9^3 = 729$ angka satuan 9
Perhatikan pola angka satuan yang dihasilkan setiap angka hampir semuanya sama dengan bilangan pokonya kecuali 2 yang akan menghasilkan 8, 3 akan menghasilkan angka satuan 7, 7 menghasilkan angka satuan 3, dan 8 menghasilkan angka satuan 2. Keempatnya bisa dibilang seperti "anak yang tertukar". Jadi cukup mudah diingat pola tersebut. Dengan mengetahui pola tersebut kita akan lebih mudah menaksir/menebak akar pangkat tiga yang sedang dicari. Kenapa? bilangan berikutnya seperti 11, 12, 13, dan seterusnya apabila dipangkatkan tiga akan menghasilkan pola yang sama. Bagaimana dengan 10, 20, 30, dan seterusnya? saya rasa anda sudah mengetahuinya.
Nah, selanjutnya kita akan belajar menaksir nilai akar pangkat tiga dengan catatan nilai akar pangkat tiga yang kita cari merupakan pangkat tiga sempurna.
Contoh 3
Tentukan nilai dari $\sqrt[3]{59319}$
Penyelesaian
Rentangan taksiran untuk akar pangkat tiga dari 59319 adalah bilangan kurang dari 100 karena $100^3 = 1000000$. Dengan demikian bilangan yang kita cari berupa bilangan puluhan. Jika melihat angka depan dari bilangan tadi yaitu 50 ribuan, maka angka puluhan yang paling tepat adalah 30-an sebab $30^3 = 27000$ angka yang paling mendekati dan tidak melebihi 50 ribuan. Kemudian dilihat dari angka satuan 59319 adalah 9. Berdasarkan pola bilangan satuan pangkat 3 yang telah dijelaskan sebelumnya maka angka satuan yang paling tepat untuk melengkapi jawaban tadi adalah 9. Jadi, nilai dari $\sqrt[3]{59319} = 39$
Contoh 4
Nilai dari $\sqrt[3]{140608}$ adalah ...
Penyelesaian
Rentangan taksiran nilai akar pangkat tiga dari 140608 di bawah 100. Dan angka puluhan yang paling mendekati adalah 50, kemudian dilihat dari satuan 140608 adalah 8, maka angka satuan yang tepat digunakan untuk melengkapi jawaban adalah 2. Jadi, nilai dari $\sqrt[3]{140608}$ adalah 52
Menggunakan Cara Bersusun atau Longhand Method
Ini adalah cara yang dapat dikatakan bisa digunakan untuk semua bilangan, jadi tidak masalah aakah akar pangkat tiga yang kita cari bilangan pangkat tiga sempurna atau tidak. Longhand Method untuk akar pangkat tiga berbeda dengan Longhand Method pada akar pangkat 2, perhitungan menjadi sedikit rumit. Mungkin menurut sebagian orang metode ini rumit dan berpikir untuk apa belajar cara manual, toh sudah ada kalkulator yang keberadaanya sangat gampang ditemukan/diakses? Percayalah jika setiap ilmu itu pasti berguna dan anda tidak akan ada ruginya jika kita belajar hal yang baru.
Langkah-langkah menentukan akar pangkat tiga dengan metode bersusun adalah
- Bagi, bilangan yang akan diakarkan menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari tiga angka. Jika bilangan tersebut adalah bilangan desimal mulailah mengelompokkan dari desimal tersebut ke depan dan ke belakang contoh $\sqrt[3]{234567}$ menjadi $\sqrt[3]{234 | 567}$, $\sqrt[3]{23,567}$ menjadi $\sqrt[3]{23, | 567}$.
- Seperti pembagian bersusun, carilah angka pertama yang jika dipangkatkan tiga hasilnya mendekati/sama dengan bilangan bilangan pada kelompok pertama kemudian kurangkan. Tulis angka di atas akar (sebagai hasil akar) dan hasil pangkat tiganya di bawah bilangan kelompok pertama
- Sisa hasil pengurangan tadi digabung dengan kelompok berikutnya (diturunkan). Kemudian kita tentukan bilangan pengurangnya dengan rumus $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ Dengan keterangan $a$ adalah bilangan hasil akar pertama dan titik-titik (....) merupakan bilangan hasil akar berikutnya yang kita cari agar hasilnya jika disubstitusikan ke rumus mendekati/sama dengan sisa hasil pengurangan sebelumnya.
- Lanjutkan langkah ke tiga hingga sisa pengurangannya nol. Jika hasil akar berupa desima maka dalam menggunakan rumus abaikan. Contoh jika hasil akarnya 1,2 maka $a$ yang digunakan adalah 12.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal beserta pembahasan berikut
Contoh 5
Tentukan nilai $\sqrt[3]{1,860867}$
Penyelesaian
Sebenarnya soal di atas dapat diselesaikan dengan metode sebelumnya. Namun, kali ini akan dicoba menggunakan metode bersusun
Langkah 1
Langkah 2
1 adalah bilangan yang paling tepat, karena $1^3 = 1$. Sisa pengurangannya adalah 0, kemudian turunkan kelompok berikutnya yaitu 860 jadi sisanya menjadi 860.
Langkah 3
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Dengan demikian a = 1, jadi $300a^2 = 300 \times 1^2 = 300$ dan $30a = 30 \times 1 = 30$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 860 dengan 300 (yang diperoleh dari $300a^2 = 300 \times 1^2 = 300$) akan diperoleh hasil 2,866... yang kita gunakan adalah 2 saja. Angka yang tepat adalah 2 jangan lupa ditulis koma di depan angka 2, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(300 + 30 \times 2 + 2^2)2 = 728. Setelah dikurangkan dengan sisa sebelumnya hasilnya adalah 132 kemudian turunkan kelompok berikutnya sehingga diperoleh sisa 132867
Langkah 4
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan sekarang bukanlah 1,2 namun 12 (abaikan komanya). Jadi $300a^2 = 300 \times 12^2 = 43200$ dan $30a = 30 \times 12 = 360$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 132867 dengan 43200 diperoleh hasil 3. Angka yang tepat adalah 3 jadi, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(43200 + 360 \times 3 + 3^2)3 = 132867.
Sisanya menjadi 0, dengan demikian kita telah memperoleh hasilnya. Jadi nilai $\sqrt[3]{1,860867}$ adalah 1,23
Contoh 6
Nilai dari $\sqrt[3]{98}$ adalah ...
Penyelesaian
Langkah 1
Agar mendapat hasil yang lebih presisi, maka kita perlu menambahkan kelompok berikutnya yaitu 000
Dalam hal ini, dibatasi sampai 3 kelompok 000 saja
Langkah 2
Angka yang paling tepat adalah 4 karena $4^3 = 64$. Dan akan menghasilkan sisa 34 atau 34000 (kelompok berikutnya diturunkan)
Langkah 3
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan 4 (abaikan komanya). Jadi $300a^2 = 300 \times 4^2 = 4800$ dan $30a = 30 \times 4 = 120$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 34000 dengan 4800 diperoleh hasil 6. Angka yang tepat adalah 6 jadi $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(4800 + 120 \times 6 + 6^2)6 = 33336. Jangan lupa tulis 6 di atas akar sebagai hasil akar dan tambahkan koma di depannya
Langkah 4
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan 46 (abaikan koma). Jadi $300a^2 = 300 \times 46^2 = 634800$ dan $30a = 30 \times 46 = 1380$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 664000 dengan 434800 diperoleh hasil 1. Jadi, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(634800 + 1380 \times 1 + 1^2)1 = 636181.
Langkah 5
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan 461 (abaikan koma). Jadi $300a^2 = 300 \times 461^2 = 63756300$ dan $30a = 30 \times 461 = 13830$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 27819 000 dengan 63756300 diperoleh hasil 0 (karena 27819 000 < 63756300). Jadi, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(63756300 + 13830 \times 0 + 0^2)0 = 0.
Perhitungan saya selesaikan pada langkah 5, untuk hasil yang lebih mendekati silahkan lanjutkan langkah 5 dengan cara yang sama. Jadi, nilai dari $\sqrt[3]{98}$ adalah 4,610....
Demikianlah mengenai cara mencari akar pangkat 3 tanpa menggunakan kalkulator, semoga bermanfaat dan dipahami.
Contoh 5
Tentukan nilai $\sqrt[3]{1,860867}$
Penyelesaian
Sebenarnya soal di atas dapat diselesaikan dengan metode sebelumnya. Namun, kali ini akan dicoba menggunakan metode bersusun
Langkah 1
Langkah 2
1 adalah bilangan yang paling tepat, karena $1^3 = 1$. Sisa pengurangannya adalah 0, kemudian turunkan kelompok berikutnya yaitu 860 jadi sisanya menjadi 860.
Langkah 3
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Dengan demikian a = 1, jadi $300a^2 = 300 \times 1^2 = 300$ dan $30a = 30 \times 1 = 30$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 860 dengan 300 (yang diperoleh dari $300a^2 = 300 \times 1^2 = 300$) akan diperoleh hasil 2,866... yang kita gunakan adalah 2 saja. Angka yang tepat adalah 2 jangan lupa ditulis koma di depan angka 2, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(300 + 30 \times 2 + 2^2)2 = 728. Setelah dikurangkan dengan sisa sebelumnya hasilnya adalah 132 kemudian turunkan kelompok berikutnya sehingga diperoleh sisa 132867
Langkah 4
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan sekarang bukanlah 1,2 namun 12 (abaikan komanya). Jadi $300a^2 = 300 \times 12^2 = 43200$ dan $30a = 30 \times 12 = 360$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 132867 dengan 43200 diperoleh hasil 3. Angka yang tepat adalah 3 jadi, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(43200 + 360 \times 3 + 3^2)3 = 132867.
Sisanya menjadi 0, dengan demikian kita telah memperoleh hasilnya. Jadi nilai $\sqrt[3]{1,860867}$ adalah 1,23
Contoh 6
Nilai dari $\sqrt[3]{98}$ adalah ...
Penyelesaian
Langkah 1
Agar mendapat hasil yang lebih presisi, maka kita perlu menambahkan kelompok berikutnya yaitu 000
Langkah 2
Angka yang paling tepat adalah 4 karena $4^3 = 64$. Dan akan menghasilkan sisa 34 atau 34000 (kelompok berikutnya diturunkan)
Langkah 3
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan 4 (abaikan komanya). Jadi $300a^2 = 300 \times 4^2 = 4800$ dan $30a = 30 \times 4 = 120$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 34000 dengan 4800 diperoleh hasil 6. Angka yang tepat adalah 6 jadi $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(4800 + 120 \times 6 + 6^2)6 = 33336. Jangan lupa tulis 6 di atas akar sebagai hasil akar dan tambahkan koma di depannya
Langkah 4
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan 46 (abaikan koma). Jadi $300a^2 = 300 \times 46^2 = 634800$ dan $30a = 30 \times 46 = 1380$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 664000 dengan 434800 diperoleh hasil 1. Jadi, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(634800 + 1380 \times 1 + 1^2)1 = 636181.
Langkah 5
$(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$. Nilai a yang digunakan 461 (abaikan koma). Jadi $300a^2 = 300 \times 461^2 = 63756300$ dan $30a = 30 \times 461 = 13830$, sedangkan titik-titik yang belum terisi dapat dicari dengan membagi 27819 000 dengan 63756300 diperoleh hasil 0 (karena 27819 000 < 63756300). Jadi, $(300a^2 + 30a \times .... + ....^2)....$ dapat ditulis lengkap $(63756300 + 13830 \times 0 + 0^2)0 = 0.
Demikianlah mengenai cara mencari akar pangkat 3 tanpa menggunakan kalkulator, semoga bermanfaat dan dipahami.
Cara Longhand merupakan cara yg bagus.
ReplyDeleteTerimakasih atas sharing ilmunya.. barakallahu fii umrik.