Pengertian Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor, dan Adjoin Matriks

Dalam matriks dikenal beberapa istilah seperti minor, kofaktor dan adjoin matriks. Istilah-istilah ini akan sering kita temukan jika sedang mempelajari determinan dan invers suatu matriks. Determinan dapat ditentukan apabila suatu matriks merupakan matriks persegi dan suatu matriks persegi akan memiliki invers apabila determinannya tidak sama dengan nol (0).

Dalam menentukan suatu determinan kita harus menentukan minor dan kofaktor matriks tersebut kecuali, matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan ordo 1 x 1 yang determinannya adalah elemenya sendiri. Sebagai contoh matriks A = [-2] maka determinan matriks A adalah -2. Setelah mendapatkan minor dan kofaktonya selanjutnya kita tentukan ekspansi yang akan kita gunakan, sehingga diperoleh determinan matriks tersebut.

Minor dan kofaktor juga diperlukan dalam menentukan invers suatu matriks persegi. Selain digunakan untuk menentukan determinan, minor dan kofaktor digunakan untuk menentukan Matriks Kofaktor dan Adjoin matriks itu sendiri. Nah Apa itu Minor, Kofaktor, dan Adjoin serta bagaimana cara menentukan Minor, Kofaktor, dan Adjoin itu? Berikut ini adalah ulasan singkatnya

Pengertian Minor 

Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖j adalah determinan matriks bagian dari matriks 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. Dengan demikian untuk matriks 1 x 1, kita tidak bisa mendapatkan minornya. Minor kita bisa dapatkan pada matriks persegi 2 x 2, 3 x 3, dan seterusnya. Jumlah minor dari suatu matriks mengikuti jumlah elemenya, jadi pada matriks 2 x 2 akan terdapat 4 minor yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{21}$, dan $M_{22}$. Sedangkan pada matriks 3 x 3 maka akan terdapat 9 minor yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{13}$, $M_{21}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{31}$, $M_{32}$, dan $M_{33}$.

Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh cara mencari minor matriks persegi 2 x 2 dan matriks persegi 3 x 3.

Contoh 1
Tentukan semua minor matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$!
Jawab
Ingat bahwa 𝑀𝑖j adalah determinan matriks bagian dari matriks 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. Jadi, apabila yang kita cari adalah $M_{11}$ maka kita harus menghilangkan elemen baris pertama dan kolom pertama dan tersisalah satu elemen yaitu -5. Cara yang sama berlaku juga untuk minor selanjutnya.
$M_{11}$ = |-5| = -5
$M_{12}$ = |4| = 4
$M_{21}$ = |3| = 3
$M_{22}$ = |-1| = -1Catatan: tanda "| ...|" dalam hal ini merupakan notasi determinan bukan harga mutlak.

Contoh 2
Tentukan semua minor matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
 6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$!
Jawab
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya kita akan mendapatkan semua minor matriks B. Minor untuk matriks persegi 3 x 3 akan berupa determinan matriks 2 x 2.
$M_{11} = \begin{vmatrix}
4 & 5 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}= 12 - (-10) = 22$
$M_{12} = \begin{vmatrix}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{vmatrix}= 18 - 5 = 13$
$M_{13} = \begin{vmatrix}
6 & 4 \\
1 & -2
\end{vmatrix}= -12 - 4 = -16$
$M_{21} = \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}= 3 - 6 = -3$
$M_{22} = \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
1 & 3
\end{vmatrix}= 6 - (-3) = 9$
$M_{23} = \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & -2
\end{vmatrix}= -4 - 1 = -5$
$M_{31} = \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
4 & 5
\end{vmatrix}= 5 - (-12) = 17$
$M_{32} = \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
6 & 5
\end{vmatrix}= 10 - (-18) = 28$
$M_{33} = \begin{vmatrix}
2& 1 \\
6& 4
\end{vmatrix}= 8 - 6 = 2$

Pengertian Kofaktor

Kofaktor adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan yaitu (-1)$^{i+j}$ dimana i adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks A dilambangkan dengan Cij.

Cij = (-1)$^{i+j}$ Mij

Sama seperti minor jumlah kofaktor suatu matriks mengikuti jumlah elemen matriks tersebut. Untuk contoh saya akan melanjutkan contoh 1 dan contoh 2 yang minornya sudah ditentukan sebelumnya

Contoh 1 (lanjutan)
Tentukan semua kofaktor dari matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$!
Jawab
Karena minornya telah dicari sebelumnya yaitu
$M_{11}$ = -5
$M_{12}$ = 4
$M_{21}$ = 3
$M_{22}$ = -1
Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)$^{i+j}$ Mij
$C_{11} = (-1)^{1+1} (-5) = -5$
$C_{12} = (-1)^{1+2} (4) = -4$
$C_{21} = (-1)^{2+1} (3) = -3$
$C_{22} = (-1)^{2+2} (-1) = -1$
Contoh 2 (lanjutan)
Tentukan semua kofaktor matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$!
Jawab
Minor-minor matriks B (sudah dicari sebelumnya)
$M_{11} = 22$
$M_{12} = 13$
$M_{13} = -16$
$M_{21} = -3$
$M_{22} = 9$
$M_{23} = -5$
$M_{31} = 17$
$M_{32} = 28$
$M_{33} = 2$

Kofaktor-kofaktor matriks B adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} (22) = 22$
$C_{12} = (-1)^{1+2} (13) = -13$
$C_{13} = (-1)^{1+3} (-16) = -16$
$C_{21} = (-1)^{2+1} (-3) = 3$
$C_{22} = (-1)^{2+2} (9) = 9$
$C_{23} = (-1)^{2+3} (-5) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1} (17) = 17$
$C_{32} = (-1)^{3+2} (28) = -28$
$C_{33} = (-1)^{3+3} (2) = 2$

Matriks Kofaktor

Matriks kofaktor merupakan matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor matriks itu sendiri. Jadi, misalkan terdapat suatu matriks katakanlah matriks A, maka matriks kofaktor A merupakan matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor dari matriks A. Susunan elemen matriks kofaktor juga mengikuti susunan (letak) kofaktor-kofaktornya.

Sebagai contoh, akan digunakan contoh 1 dan contoh 2 yang telah didapatkan kofaktor-kofaktornya.

Contoh 1 (lanjutan)
Matriks
$A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$
Kofaktor-kofaktor matriks A
$C_{11} = -5$
$C_{12} = -4$
$C_{21} = -3$
$C_{22} = -1$

Matriks Kofaktor $A = \begin{bmatrix}
-5 & -4 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}$

Contoh 2 (lanjutan)

Matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$

Kofaktor-kofaktor matriks B

$C_{11} = 22$
$C_{12} = -13$
$C_{13} = -16$
$C_{21} = 3$
$C_{22} = 9$
$C_{23} = 5$
$C_{31} = 17$
$C_{32} = -28$
$C_{33} = 2$
Matriks Kofaktor $B = \begin{bmatrix}
22 & -13 & -16\\
 3 & 9 & 5\\
17 & -28 & 2
\end{bmatrix}$

Adjoin Matriks

Adjoin matriks merupakan tranpose dari matriks kofaktor. Adjoin sering disingkat dengan Adj. Misalkan matriks A, maka adjoin A ditulis Adj (A). Tranpose sendiri maksudnya adalah pertukaran elemen pada baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Adjoin matriks digunakan dalam menentukan invers matriks.

Nah tadi, pada contoh 1 dan contoh 2 telah didapat matriks kofaktornya untuk adjoinya dapat ditentukan dengan mentranpos matriks kofaktor tersebut.

Contoh 1 (lanjutan)
Matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$
Matriks Kofaktor $A = \begin{bmatrix}
-5 & -4 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks A adalah
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
-5 & -3 \\
-4 & -1
\end{bmatrix}$

Contoh 2 (lanjutan)
Matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
 6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3

\end{bmatrix}$
Matriks Kofaktor $B = \begin{bmatrix}
22 & -13 & -16\\
 3 & 9 & 5\\
17 & -28 & 2
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks B adalah
$Adj (B) = \begin{bmatrix}
22 & 3 & 17\\
 -13 & 9 & -28\\
-16 & 5 & 2
\end{bmatrix}$

Sebagai latihan, cobalah cari semua minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks berikut
$C = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & -6
\end{bmatrix}$
$D = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 4\\
 7 & 3 & 9\\
1 & 8 & 3
\end{bmatrix}$

Untuk penerapannya minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks dapat dibaca dalam artikel Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3, Cara Menentukan Invers Matriks 2 x 2, dan Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai pengertian minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks. Semoga bermanfaat

Share :