Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soalnya

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang penjumlahanya sampai suku tak hingga. Deret geometri sendiri merupakan deret yang mempunyai perbandingan suku-suku berurutan tetap atau yang lebih dikenal sebagai rasio. Selain deret geometri ada pula deret aritmetika, bedanya dengan deret geometri apabila deret geometri mempunyai rasio deret aritmetika mempunyai beda (b) yang merupakan selisih suku yang berurutan dan akan bernilai tetap pada suku-suku yang berurutan lainnya.

Fokus kita pada bahasan kali ini adalah mengenai deret geometri tak hingga. Meskipun deret ini memiliki suku mencapai tak hingga kita masih dapat mencari jumlah keseluruhannya secara pasti. Namun, tidak semua deret geometri tak hingga dapat kita tentukan jumlahnya. Dilihat dari rasionya (r) deret geometri tak hingga dapat dibedakan menjadi dua yaitu deret geometri konvergen dan deret geometri tak hingga divergen

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Sebelum membahas mengenai rumus jumlah deret geometri tak hingga, kita harus pahami terlebih dahulu deret geometri tak hingga konvergen dengan deret geometri tak hingga divergen. Pada dasarnya keduanya memiliki perbedaan pada rasionya. Deret konvergen memiliki interval rasio -1 < r < 1 atau dapat ditulis juga |r| < 1 (tanda mutlak r). Sedangkan deret divergen mempunyai rasio r < -1 atau r > 1 (|r | > 1).

Deret geometri tak hingga kovergen memiliki rasio dengan interval -1 < r < 1 serta memiliki limit jumlah (dapat dihitung jumlanya)
Deret geometri tak hingga divergen memiliki rasio r < -1 atau r > 1, tidak memiliki limit jumlah atau tidak diketahui berapa jumlah pastinya dan sering dikatakan jumlahnya tak hingga ($\infty$)

Dari penjelasan di atas, sekarang akan dilanjutkan dengan bahasan mengenai rumus deret geometri tak hingga konvergen. Misalkan U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + ....... merupakan deret geometri tak hingga konvergen dimana -1 < r < 1, U$_{1}$ = a merupakan suku pertamanya dan $S_{\infty}$ merupakan jumlahnya maka
$S_{\infty} = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai -1 < r < 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil atau mendekati nol sehingga diperoleh
$S_{\infty} = \dfrac{a(1-0)}{1 -r}$
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 -r}$
Jadi, untuk menentukan jumlah suatu deret geometri tak hingga konvergen dapat menggunakan rumus

$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$

Dengan $S_{\infty}$ merupakan jumlah deret geometri tak hingga, a adalah suku pertama deret, dan r merupakan rasio deret tersebut dengan syarat -1 < r < 1. Sedangkan pada deret divergen
$S_{\infty} = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai r < -1 atau r > 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan tak hingga ($\pm$). Sehingga diperoleh hasil
$S_{\infty} = \dfrac{a(1\pm \infty)}{1 -r}= $$\pm \infty$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan deret geometri tak hingga berikut!
Contoh 1
Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......
Jawab
16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = $\frac{1}{2}$ merupakan deret konvergen
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{\frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = 32 $

Contoh 2
Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah $\frac{1}{3}$, nilai suku pertamanya adalah ...
Jawab
$S_{\infty} = 12 $
r = $\frac{1}{3}$
$\dfrac{a}{1 - \frac{1}{3}} = 12 $
$\dfrac{a}{\frac{2}{3}} = 12 $
$a = 12 \times \frac{2}{3} $
$a = 8$

Contoh 3
Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...
Jawab
$S_{\infty} = 24 $
a = 8
$\dfrac{8}{1 - r} = 24 $
$8 = 24 - 24r$
$ -16 = -24r$
$24r = 16$
$r = \frac{16}{24}$
$r = \frac{2}{3}$

Contoh 4
Tentukan nilai x agar deret geometri (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + .... merupakan deret konvergen!
Jawab
1 + (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + ....
r = x - 2
Syarat konvergen -1< r < 1
-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3

Contoh 5
Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut adalah ....
Jawab
$S_{\infty} = 6 $
$\dfrac{a}{1 - r} = 6 $
$a = 6 - 6r$
$a - 6 = -6r$
$r = \dfrac{a - 6}{-6}$
$r = \dfrac{6 - a}{6}$
Karena memiliki jumlah maka r bernilai -1 < r < 1
$-1 < \dfrac{6 - a}{6} < 1$
$-6 < 6 - a < 6$
$-12 < -a < 0$
$12 > a > 0$ (dikali -1 maka tanda dibalik)
$0 < a < 12$
Jadi, nilai a berada pada interval 0 < a < 12

Contoh 6
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Jawab
3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = 3
r = 2
Karena nilai r > 1, maka deret ini merupakan deret divergen yang jumlah tak hingganya adalah $\infty$

Suku Genap dan Suku Ganjil Pada Deret Geometri Tak Hingga

Dalam setiap deret tentu memiliki suku-suku genap dan suku-suku ganjil. Misalkan pada deret
U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
Deret di atas memiliki deret suku ganjil
U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$ + U$_{7}$ + U$_{9}$ + U$_{11}$ +.......
Dan deret suku genapnya adalah
U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$ + U$_{8}$ + U$_{10}$ + U$_{12}$ +.......
Pada deret geometri tak hingga juga sama yaitu
$S_{\infty} =$ U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
$S_{\infty} =$ (U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$+.......) + (U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$+.......)
$S_{\infty} =$ $S_{\infty ganjil}$ + $S_{\infty genap}$
Dengan demikian
$S_{\infty ganjil} = a + ar^{2} + ar^{4} + ar^{6} + .......$
$S_{\infty genap} = ar + ar^{3} + ar^{5} + ar^{7} + .......$

Jika dilihat pada deretnya, deret suku ganjil mempunyai suku pertama U1 atau a dan rasionya adalah r$^{2}$. Dengan demikian diperoleh rumus jumlah deret tak hingga suku ganjil

$S_{\infty ganjil} = \dfrac{a}{1-r^{2}}$
Sedangkan untuk suku genap memiliki suku pertama ar dan rasionya r$^{2}$, maka diperoleh rumus jumlah tak hingganya
$S_{\infty genap} = \dfrac{ar}{1-r^{2}}$

Dari dua rumus di atas kita juga mendapatkan cara untuk menemukan rasio pada deret geometri tak hingga. Apabila diketahui $S_{\infty ganjil}$ sebagai jumlah suku-suku ganjil suatu deret geometri tak hingga dan $S_{\infty genap}$ sebagai jumlah suku-suku genapnya maka perbandingan suku genap dan suku ganjil merupakan rasio dari deret geometri tak hingga tersebut. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
$\dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}} $$= \dfrac{\frac{ar}{1-r^{2}}}{\frac{a}{1-r^{2}}}$
$=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \cdot \dfrac{1-r^{2}}{a}$
$= \dfrac{ar}{a}$
$= r$
Jadi, diperoleh cara lain untuk menentukan rasio suatu deret geometri tak hingga adalah
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 7
Jika jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 32 dan jumlah semua suku genapnya adalah 18, maka rasio dari deret geometri tersebut adalah ...
Jawab
$S_{\infty}$ = 32
$S_{\infty genap}$ = 14
$S_{\infty ganjil}$ =32 - 14 = 18
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$
$r = \dfrac{14}{18}$
$r = \dfrac{7}{9}$

Contoh 8
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang ganjil adalah 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...
Jawab
$S_{\infty}$ = 96
$S_{\infty ganjil}$ = 64
$S_{\infty genap}$ = 96 - 64 = 32
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

$r = \dfrac{32}{64}$

$r = \dfrac{1}{2}$

$S_{\infty} = 96 $
$\dfrac{a}{1 - \frac{1}{2}} = 96 $
$\dfrac{a}{\frac{1}{2}} = 96 $
$a = 96 \times \frac{1}{2} $
$a = 48$

$U_{n} = ar^{n-1}$
$U_{3} = 48 (\dfrac{1}{2})^{3-1}$
$U_{3} = 48 (\dfrac{1}{4})$
$U_{3} = 12$

Penggunaan Deret Geometri Tak Hingga

Penggunaan deret geometri tak hingga salah satunya pada masalah menghitung panjang lintasan dari pantulan bola. Ada dua kondisi masalah yang biasa digunakan dalam soal yaitu bola yang dilempar ke atas dan memantul sampai berhenti dan bola yang dijatuhkan dari atas dan memantul sampai berhenti. Tentu saja hasil yang didapat tidak seakurat seperti kenyataanya, namun setidaknya perhitungan ini telah mendekati.

Bola dilempar ke atas

Misalkan sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian a dan jatuh memantul r dari tinggi sebelumnya. Jika kondisinya adalah bola dilempar ke atas dan memantul sampai berhenti, maka panjang lintasannya dapat kita hitung menggunakan deret geometri tak hingga. Namun, ada beberaa kondisi yang harus kita pahami terlebih dahulu. Apabila bola dilempar ke atas dan memantul hingga berhenti, maka bola akan melewati dua kali lintasan yang sama pada saat naik dan turun. Sehingga rumus yang digunakan untuk menghitungnya adalah

$PL = 2S_{\infty}$

$PL = 2\dfrac{a}{1-r}$

Dengan

PL = panjang lintasan bola

Bola dijatuhkan dari atas

Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian a dan memantul r dari tinggi sebelumnya. Kasus ini sama saja kita menghitung panjang lintasan bola dilempar namun pada saat kita tidak ikut menghitung panjang lintasan pada saat bola dilempar ke atas. Sehingga untuk mendapatkan panjang lintasan bola yang dijatuhkan kita dapat menggunakan rumus

$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$

Dengan

PL = panjang lintasan bola

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal mengenai panjang lintasan bola yang memantul hingga berhenti berikut

Contoh 9

Sebuah bola tenis meja dilemparkan ke atas dan mencapai ketinggian 4 meter. Setiap bola sampai pada daratan bola memantul tiga perempat kali dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul sampai berhenti adalah ...

Jawab

$PL = 2\dfrac{a}{1-r}$

$PL = 2\dfrac{4}{1-\frac{3}{4}}$

$PL = 2\dfrac{4}{\frac{1}{4}}$

$PL = 2(4 \cdot \frac{4}{1})$

$PL = 32$ m

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul sampai berhenti adalah 32 m

Contoh 10

Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 5 meter dan memantul sampai berhenti. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga per lima kali tinggi sebelumnya, maka panjang lintasan yang dilalui bola pingpong sampai berhenti adalah ...

Jawab

$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$

$PL = 2\dfrac{5}{1-\frac{3}{5}} - 5$

$PL = 2\dfrac{5}{\frac{2}{5}} - 5$

$PL = 2(5 \cdot \frac{5}{2}) - 5$

$PL = 25 - 5$

$PL = 20$

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola pingpong sampai berhenti adalah 20 m

Demikianlah mengenai deret geometri tak hingga dan contoh soalnya, semoga bermanfaat