Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang sering kali menjadi materi ujian atau ujian seleksi berbagai tingkat pendidikan. Fungsi ini memiliki bentuk umum $y = ax^2 + bx + c$. Untuk memahami konsep ini dengan lebih baik, diperlukan pemahaman yang kuat terhadap berbagai aspek yang berkaitan, seperti diskriminan, akar-akar fungsi, dan titik ekstrim. Oleh karena itu, dalam artikel ini, kami akan memberikan sepuluh contoh soal pilihan ganda mengenai fungsi kuadrat beserta pembahasannya. Dengan memahami dan menguasai contoh-contoh soal ini, diharapkan pembaca dapat meningkatkan pemahaman mereka terhadap fungsi kuadrat dan bersiap dengan lebih baik untuk menghadapi berbagai ujian atau tugas matematika yang melibatkan konsep ini

Soal 1

Grafik fungsi $y = -9x^2 + 12x + 6$ memotong sumbu y di titik ....

A. (0, -6)

B. (0, 6)

C. (6, 0)

D. (-6, 0)

Pembahasan:

Titik potong sumbu y fungsi kuadrat $y = -9x^2 + 12x + 6$ dapat ditentukan ketika $x = 0$

$y = -9x^2 + 12x + 6$

$y = -9(0)^2 + 12(0) + 6$

$y = 0 + 0 + 6$

$y = 6$

Jadi, titik potong sumbu y grafik fungsi kuadrat $y = -9x^2 + 12x + 6$ adalah (0, 6)

Soal 2

Pernyataan tentang hubungan antara diskriminan fungsi kuadrat dan grafik fungsi kuadrat berikut ini benar, kecuali...

A. Jika D > 0 maka grafik fungsi kuadrat akan memotong sumbu x di dua titik

B. Jika D = 0 maka grafik fungsi kuadrat akan memotong sumbu x di satu titik

C. Jika D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

D. Jika D = 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

Pembahasan:

D. Jika D = 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

Soal 3

Grafik fungsi kuadrat $f(x) = -x^2 + 6x +16$ akan:

i. Membuka ke atas (n) karena a>0

ii. Membuka ke bawah (n) karena a<0

iii. Memotong sumbu X di (-8,0) dan (2,0)

iv. Memotong sumbu Y di (0,16)

Pernyataan-pernytaan yang benar adalah ...

A. i dan iii

B. ii dan iv 

C. i, ii,  dan iii

D.  iv

Pembahasan:

Grafik fungsi kuadrat $f(x) = -x^2 + 6x +16$ dimana a = -1 , b = 6, dan c = 16

Grafik terbuka ke bawah, karena a < 0

Titik potong sumbu x 

$f(x) = -x^2 + 6x +16$

$0 = (-x + 8)(x + 2)$

$-x + 8=0$ atau $x + 2 = 0$

$x = 8$   atau     $x = -2$

Titik potong sumbu x grafik fungsi $f(x) = -x^2 + 6x +16$ adalah (8, 0) dan (-2, 0)

Titik potong sumbu y

$f(x) = -x^2 + 6x +16$

$y = -(0)^2 + 6(0) +16$

$y = 0 + 0 + 16$

$y = 16$

Titik potong sumbu y grafik fungsi $f(x) = -x^2 + 6x +16$ adalah (0, 16)

Jadi, pernyataan yang benar adalah nomor ii dan iv

Soal 4

Diketahui grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2 -3x + 2$. Titik potong pada sumbu x grafik tersebut adalah....
A. (1,0) dan (2,0)
B. (0,1) dan (0,2)
C. (3,0) dan (2,0)
D. (1,0) dan (0,2)

Pembahasan:
Titik potong sumbu x grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2 -3x + 2$, ketika y = f(x) = 0

$f(x) = x^2 -3x + 2$

$0 = (x -1)(x-2)$

$x - 1 = 0$ atau $x - 2 = 0$

$x = 1$     atau   $x = 2$

Jadi, titik  potong sumbu x grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2 -3x + 2$ adalah (1, 0) dan (2, 0)

Soal 5

Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat $f(x) = 4x^2 + 10x - 5$ adalah...

A. $x = -5$

B. $x = -1\frac{1}{4}$

C. $x = 1\frac{1}{4}$

D. $x = 5$

Pembahasan:

Persamaan sumbu simetri suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan

$x = -\frac{b}{2a}$

$x = -\frac{10}{2(4)}$

$x = -\frac{10}{8}$

$x = -\frac{5}{4}$

$x = -1\frac{1}{4}$

Jadi, persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat $f(x) = 4x^2 + 10x - 5$ adalah $x = -1\frac{1}{4}$

Soal 6

Sebuah balon udara bergerak sesuai fungsi kuadrat $f(x) = -16x^2 + 112x - 91$, dimana $f(x)$ dalam meter. Tinggi maksimum balon udara tersebut adalah ...

A. 100 m

B. 105 m

C. 200 m

D. 287 m

Pembahasan:

Nilai maksimumnya dapat ditentukan dengan

$y = -\frac{(b^2 - 4ac)}{4a}$

$y = -\frac{(112^2 - 4(-16)(-91)}{4(-16)}$

$y = -\frac{(12544 + 5824)}{-64}$

$y = \frac{18368}{64}$

$y = 287$

Jadi, tinggi maksimum balon adalah 287 m

Soal 7

Koordinat titik puncak grafik fungsi $y = 4x^2 + 12x + 6$ adalah ....

A. $(\frac{3}{2}, 3)$

B. $(\frac{3}{2}, -3)$

C. $(-\frac{3}{2}, 3)$

D. $(-\frac{3}{2}, -3)$

Pembahasan:

Sumbu simetri grafik fungsi $y = 4x^2 + 12x + 6$

$x = -\frac{b}{2a}$

$x = -\frac{12}{2(4)}$

$x = -\frac{12}{8}$

$x = -\frac{3}{2}$

Nilai optimum grafik fungsi $y = 4x^2 + 12x + 6$

$y = -\frac{(b^2 - 4ac)}{4a}$

$y = -\frac{(12^2 - 4(4)(6)}{4(4)}$

$y = -\frac{(144-96)}{16}$

$y = -\frac{48}{16}$

$y = -3$

Jadi, koordinat titik puncak grafik fungsi $y = 4x^2 + 12x + 6$ adalah $(-\frac{3}{2}, -3)$

Soal 8

Titik balik fungsi $f(x) = 2(x+2)^2+3$ adalah ...

A. (-2, -3)

B. (2, 3)

C. (-2, 3)

D. (2, -3)

Pembahasan:

Langkah pertama kita nyatakan terlebih dahulu fungsi $f(x) = 2(x+2)^2+3$ ke dalam bentuk umum fungsi kuadrat

$f(x) = 2(x+2)^2+3$

$f(x) = 2(x^2 + 4x + 4) + 3$

$f(x) = 2x^2 + 8x + 8 + 3$

$f(x) = 2x^2 + 8x + 11$

Langkah kedua kita tentukan sumbu simetri dan nilai optimumnya

Sumbu simetri grafik fungsi $f(x) = 2x^2 + 8x + 11$

$x = -\frac{b}{2a}$

$x = -\frac{8}{2(2)}$

$x = -\frac{8}{4}$

$x = -2$

Nilai optimum grafik fungsi $f(x) = 2x^2 + 8x + 11$

$y = -\frac{(b^2 - 4ac)}{4a}$

$y = -\frac{(8^2 - 4(2)(11)}{4(2)}$

$y = -\frac{(64-88)}{8}$

$y = -\frac{-24}{8}$

$y = 3$

Jadi, koordinat titik puncak grafik fungsi $f(x) = 2(x+2)^2+3$ adalah $(-2, 3)$

Soal 9

Perhatikan gambar berikut!

Persamaan fungsi kuadrat dari grafik di atas adalah …

A. $f(x) = x^{2} + 2x + 3$

B. $f(x) = x^{2} - 2x - 3$

C. $f(x) = -x^{2} + 2x - 3$

D. $f(x) = -x^{2} + 2x + 3$

Pembahasan:

Titik potong sumbu x : (-1, 0) dan (3, 0)

Titik lain : (1, 4)

$y = a(x - x_1 )(x - x_2 )$

$y = a(x - (-1))(x - 3)$

$y = a(x + 1)(x - 3)$

Substitusi titik (1, 4)

4 = a(1 + 1)(1 - 3)

4 = a(2)(-2)

4 = -4a

-1 = a

Substitusi a = -1 

$y = (-1)(x + 1)(x - 3)$

$y = (-1)(x^2 - 2x - 3)$

$y = -x^2 + 2x + 3$

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$

Soal 10

Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0, 6) adalah ...

A. y = -x² + x + 6

B. y = x² + x + 6

C. y = -x² - x + 6

D. y = -x² + x - 6

Pembahasan:

Dari titik potong sumbu x kita dapatkan x₁ = -2 dan x₂ = 3
y = a(x - x₁)(x - x₂)
y = a(x - (-2))(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Selanjutnya, kita tentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x dan y titik (0, 6) pada persamaan di atas
6 = a(0 + 2)(0 - 3)
6 = a(2)(-3)
6 = -6a
a = -1
Jadi fungsi kuadratnya adalah
y = -1(x + 2)(x - 3)
y = -1(x² - x - 6)
y = -x² + x + 6

Dalam mengakhiri artikel ini, kita dapat menyimpulkan bahwa pemahaman yang kuat tentang fungsi kuadrat merupakan salah satu kunci keberhasilan dalam matematika. Melalui contoh soal dan pembahasan yang telah kami sajikan, diharapkan pembaca telah mendapatkan gambaran yang lebih baik tentang bagaimana menerapkan konsep ini dalam berbagai situasi. Namun, perlu diingat bahwa matematika adalah sebuah disiplin ilmu yang terus berkembang, dan pembelajaran tidak pernah berakhir. Oleh karena itu, selalu ada kesempatan untuk terus meningkatkan pemahaman kita tentang fungsi kuadrat dan matematika secara umum. Teruslah berlatih, bertanya, dan menjelajahi konsep-konsep baru untuk mencapai prestasi yang lebih tinggi dalam dunia matematika. Semoga artikel ini bermanfaat bagi pembaca dalam mempersiapkan diri mereka untuk tantangan matematika yang akan datang.

Share :