Contoh Soal dan Pembahasan Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan materi gradien dan persamaan garis lurus

Soal 1
Gradien dari garis h pada gambar di bawah adalah ...

A. 1/3

B. 1/2

C. 1

D. 3

Jawab:

Gradien adalah perbandingan perubahan sumbu tegak dengan perubahan sumbu mendatar dari suatu garis. Jika dilihat dari kiri ke kanan naik maka gradien garis tersebut positif dan jika dari kiri ke kanan turun, maka gradiennya negatif.

Perubahan sisi tegak pada garis h = 2

Perubahan sisi datar pada garis h = 6

$m = \frac{2}{6}$

$m = \frac{1}{3}$ (A)

Soal 2

Gradien garis f pada gambar di bawah adalah ...

A. 5/3

B. 3/5

C. -3/5

D. -5/3

Jawab:

$m = -\frac{5}{3}$ (D)

Soal 3

Gradien persamaan garis y = -2x + 5 adalah ...

A. -5

B. -2

C. 1

D. 2

Jawab:

Untuk gradien apabila diketahui persamaan garisnya y = mx + c maka gradiennya adalah koefisien x itu sendiri yaitu m

Pada garis y = -2x + 5 jelas koefisien x adalah -2, maka

m = -2 (B)

Soal 4

Gradien persamaan garis $y = \frac{1}{3}x$ adalah ...

A. 3

B. 1

C. $\frac{1}{3}$

D. $-\frac{1}{3}$

Jawab:

$m = \frac{1}{3}$ (C)

Soal 5

Diketahui persamaaan garis lurus 3x + 4y = 7. Gradien persamaan garis tersebut adalah ...

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $-\frac{3}{4}$

D. $-\frac{7}{3}$

Jawab:

Untuk persamaan garis lurus dengan bentk ax + by = c, rumus untuk menentukan gradiennya adalah $m = -\frac{a}{b}$ atau kita ubah bentuknya menjadi y = mx + c. Dalam hal ini kita akan menggunakan rumus $m = -\frac{a}{b}$

$m = -\frac{3}{4}$ (C)

Soal 6

Diketahui persamaan garis lurus 3y = 6x - 8. Gradien persamaan garis tersebut adalah ...

A. $\frac{8}{3}$

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{8}$

Jawab:

Kita tinggal ubah persamaan 3y = 6x - 8 menjadi bentuk y = mx + c dengan menjadikan koefisien y menjadi 1 dengan kata lain kita membagi kedua ruas dengan 3

3y = 6x - 8

$y = \frac{6x - 8}{3}$

$y = \frac{6x}{3}- \frac{8}{3}$

$y = 2x -\frac{8}{3}$

diperoleh m = 2 (B)

Soal 7

Diketahui suatu garis melalui titik A(2, 3) dan B(-1, 4), gradien garis persamaan garis yang melalui titik AB tersebut adalah ...

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{3}$

D. $-\frac{2}{3}$

Jawab:

A(2, 3) maka $x_{1} = 2$ dan $y_{1} = 3$

B(-1, 4) maka $x_{2} = -1$ dan $y_{2} = 4$

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$m = \frac{4 - 3}{(-1) - 2}$

$m = \frac{1}{-3}$

$m = -\frac{1}{3}$ (C)

Soal 8

Perhatikan gambar di bawah!

Gradien garis h adalah ...

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

Jawab:

(3, 0) maka $x_{1} = 3$ dan $y_{1} = 0$

(0, 6) maka $x_{2} = 0$ dan $y_{2} = 6$

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$m = \frac{6 - 0}{0 - 3}$

$m = \frac{6}{-3}$

$m = -2$ (A)

Soal 9

Diketahui gradien suatu garis adalah 3, jika garis tersebut melalui titik P(2, m) dan Q(3,5). Nilai m pada titik P adalah ....

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Jawab:

m = 3

P(3, 0) maka $x_{1} = 2$ dan $y_{1} = m$

Q(0, 6) maka $x_{2} = 3$ dan $y_{2} = 5$

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$3 = \frac{5 - m}{3 - 2}$

$3 = \frac{5 - m}{1}$

$3 = 5 - m$

$m = 5 - 3$

$m = 2$ (B)

Soal 10

Diketahui suatu garis melalui titik A(3, -1), B(1, 5), dan C(p, 2). Nilai p adalah ...

A. -4

B. -1

C. 0

D. 2

Jawab:

A(3, -1) maka $x_{1} = 3$ dan $y_{1} = -1$

B(1, 5) maka $x_{2} = 1$ dan $y_{2} = 5$

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$m = \frac{5 - (-1)}{1 - 3}$

$3 = \frac{5 + 1}{-2}$

$3 = \frac{6}{-2}$

$m = - 3$

Dari m = - 3, titik A dan titik C kita akan dapatkan nilai p

A(3, -1) maka $x_{1} = 3$ dan $y_{1} = -1$

C(p, 2) maka $x_{2} = p$ dan $y_{2} = 2$

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$-3 = \frac{2 - (-1)}{p - 3}$

$-3 = \frac{2 + 1}{p - 3}$

$-3 = \frac{3}{p - 3}$

$-3(p - 3) = 3$

$p - 3 = \frac{3}{-3}$

$p - 3 = -1$

$p = -1 + 3$

$p = 2$ (D)

Soal 11

Persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 4) dan B(3, -5) adalah...

A. 9x + 2y = 1

B. -9x + 2y = 1

C. 9x - 2y = 17

D. 9x + 2y = 17

Jawab:

A(1, 4) maka $x_{1} = 1$ dan $y_{1} = 4$

B(3, -5) maka $x_{2} = 3$ dan $y_{2} = -5$

$\frac{y - y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$\frac{y - 4}{(-5) - 4} = \frac{x - 1}{3 - 1}$

$\frac{y - 4}{-9} = \frac{x - 1}{2}$

$2(y - 4) =(-9)(x - 1)$

$2y - 8 =-9x + 9$

$9x + 2y = 9 + 8$

$9x + 2y = 17$ (D)

Soal 12

Persamaan garis lurus yang mempunyai gradien $\frac{2}{3}$ dan melalui titik M(-1, 1) adalah ...

A. 2x + 3y = 5

B. -x + 3y = 5

C. -2x + 3y = 5

D. 2x - 3y = 5

Jawab:

$m = \frac{2}{3}$

M(1, 4) maka $x_{1} = -1$ dan $y_{1} = 1$

$y - y_{1} = m(x - x_{1})$

$y - 1 = \frac{2}{3}(x - (-1))$

$3(y - 1) = 2(x + 1)$

$3y - 3 = 2x + 2$

$-2x + 3y = 2 + 3$

$-2x + 3y = 5$ (C)

Soal 13

Perhatikan gambar berikut!

Jika garis h tegak lurus garis k, maka persamaan garis k adalah ...

A. y = 2x + 2

B. y = -2x + 2

C. y = 2x + 6

D. y = 2x - 6

Jawab:

Misalkan $m_{1}$ gradien garis h, maka

$m_{1} = \frac{3 - 0}{0 - 6}$

$m_{1} = \frac{3}{- 6}$

$m_{1} = -\frac{1}{2}$

Misalkan gradien garis k adalah $m_{2}$, karena garis h tegak lurus garis k maka berlaku hasil kali kedua gradien adalah -1

$m_{1} \times m_{2} = -1$

$m_{2} = \frac{-1}{m_{2}}$

$m_{2} =\cfrac{-1}{\frac{-1}{2}}$

$m_{2} = 2$

Garis k melalui titik (0, 2), maka persamaan garis k adalah

$y - y_{1} = m_{2}(x - x_{1})$

$y - 2 = 2(x - 0)$

$y = 2x + 2$ (A)

Soal 14

Persamaan garis yang sejajar dengan garis y = -2x - 7 dan melalui titik G(1, -8) adalah ...

A. y = 2x + 6

B. y = -2x - 6

C. y = 2x - 6

D. y = -2x + 6

Jawab:

y = -2x - 7 , maka gradiennya $m_{1} = -2$. Persamaan garis yang dicari sejajar dengan garis y = -2x - 7 berarti gradien kedua garis sama. Misalkan $m_{2}$ merupakan gradien garis yang akan dicari maka $m_{2} = m_{1} = -2$

G(1, -8) maka $x_{1} = 1$ dan $y_{1} = -8$

$y - y_{1} = m_{2}(x - x_{1})$

$y - (-8) = -2(x - 1)$

$y + 8 = -2(x - 1)$

$y + 8 = -2x + 2$

$y = -2x + 2 - 8$

$y = -2x - 6$ (B)

Soal 15

Perhatikan gambar berikut!