Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika Materi Aljabar

Berikut adalah kumpulan soal olimpiade atau perlombaan matematika dengan materi aljabar yang telah disertai pembahasannya. Adapun pada artikel kali ini hanya akan difokuskan pada materi aljabar

Soal 1

Jika $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} = 9$ dan $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} + \frac{c}{a} + \frac{d}{b} = 20$, tentukan kemungkinan hasil dari $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} $! 

Pembahasan
Misalkan $u = \frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ dan $v = \frac{b}{c} + \frac{d}{a}$, maka
$u + v = 9$ atau $v = 9 - u$
$u \times v = 20$
$u (9 - u) = 20$
$9u - u^{2} = 20$
$u^{2} - 9u + 20 =0$
$(u - 4)(u - 5) = 0$
u - 4 = 0 atau u - 5 = 0
u = 4              u = 5

kemungkinan hasil dari $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} $ adalah 4 dan 5

Soal 2

Diketahui niai dari $2^{2022} + 4^{2022} + 6^{2022} + ... + 100^{2022} = 2^{2023}p$, maka $1^{2022} + 2^{2022} + 3^{2022} + ... + 50^{2022}$ = ...?

Pembahasan

$2^{2022} + 4^{2022} + 6^{2022} + ... + 100^{2022} = 2^{2023}p$

$2^{2022} + 2^{2022}\times 2^{2022} + 3^{2022}\times 2^{2022} + ... + 50^{2022}\times2^{2022} = 2^{2022}2p$

$1 + 2^{2022} + 3^{2022} + ... + 50^{2022} = 2p$
$1^{2022} + 2^{2022} + 3^{2022} + ... + 50^{2022} = 2p$

Soal 3

Misalkan bilangan pecahan $\frac{27}{5}$ dapat dinyatakan sebagai $\frac{27}{5} = A + \frac{1}{B + \frac{1}{C + 1}}$ dengan A, B, dan C bilangan bulat. Nilai $A \times B \times C$ adalah ...

Pembahasan

 $\frac{27}{5} = A + \frac{1}{B + \frac{1}{C + 1}}$
$\frac{27}{5} = 5 + \frac{2}{5}$

$\frac{27}{5} = 5 + \frac{1}{\frac{5}{2}}$
$\frac{27}{5} = 5 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}}$

$\frac{27}{5} = 5 + \frac{1}{2+\frac{1}{1+1}}$

Sehingga A = 5, B = 2, dan C = 1.
Jadi, $A \times B \times C = 5 \times 2 \times 1 = 10$

Soal 4
Diketahui $xy = 15$ dan $(2x - y)^4 = 1$. Misalkan  z adalah jumlah dari kuadrat semua nilai y yang mungkin, maka z = ...

Pembahasan
$xy = 15$
$x = \frac{15}{y}$

$(2x - y)^4 = 1$
$(2\times \frac{15}{y} - y)^4 = 1$
$( \frac{30}{y} - y)^4 = 1$diperoleh
$\frac{30}{y} - y = 1$ atau $\frac{30}{y} - y = -1$
Untuk $\frac{30}{y} - y = 1$
$\frac{30}{y} - y = 1$
$30 - y^2 = y$
$y^2 + y - 30 = 0$ 
Jika akar-akarnya $y_1$ dan $y_2$ maka
$y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = (y_1 + y_2)^2 - 2y_1y_2$
$y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = (1)^2 - 2(-30) = 1 + 60 = 61$

Untuk $\frac{30}{y} - y = -1$
$\frac{30}{y} - y = -1$
$30 - y^2 = -y$
$y^2 - y - 30 = 0$ 
Jika akar-akarnya $y_3$ dan $y_4$ maka
$y_{3}^{2} + y_{4}^{2} = (y_3 + y_4)^2 - 2y_3y_4$
$y_{3}^{2} + y_{4}^{2} = (-1)^2 - 2(-30) = 1 + 60 = 61$

 z adalah jumlah dari kuadrat semua nilai y = $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + y_{4}^{2} = 61 + 61 = 122$

Soal 5
Jika $(2x - 10)^{x^2 - 36} = 1$, banyak nilai x yang memenuhi adalah ...

Pembahasan
$(2x - 10)^{x^2 - 36} = 1$
maka kemungkinan
$(2x - 10)^{x^2 - 36} = (2x - 10)^0$ atau $(2x - 10)^{0} = (1)^0$
Dari $(2x - 10)^{x^2 - 36} = (2x - 10)^0$ diperoleh
$x^2 - 36 = 0$
$(x + 6)(x - 6) = 0$
x = -6 atau x = 6
Dari $(2x - 10)^{0} = (1)^0$ diperoleh
$2x - 10 = 1$
$2x = 11$
$x = \frac{11}{2}$
Jadi, banyak nilai x yang memenuhi adalah 3

Soal 6
Hasil dari $\frac{100.000.002^2 - 99.999.998^2}{10.001^2 - 9.999^2}$ adalah ...

Pembahasan 
$\frac{100.000.002^2 - 99.999.998^2}{10.001^2 - 9.999^2}=\frac{(100.000.002 + 99.999.998)(100.000.002 - 99.999.998)}{(10.001 + 9.999)(10.001 - 9.999)}$
 $ =\frac{(200.000.000)(4)}{(20.000)(2)}$
$ =\frac{400.000.000}{20.000}$
$ =20.000$

Share :