Menentukan Banyak Faktor Positif dari Suatu Bilangan

Faktor suatu bilangan, dalam matematika, adalah pembagi dari bilangan tertentu yang membaginya sepenuhnya, tanpa meninggalkan sisa. Untuk mencari faktor dari suatu bilangan , kita dapat menggunakan metode yang berbeda seperti metode pembagian dan metode perkalian.

Pengertian Faktor

Faktor suatu bilangan adalah bilangan yang habis membagi bilangan tersebut tanpa sisa . Faktor suatu bilangan bisa positif atau negatif. Sebagai contoh, mari kita cari faktor dari 8. Karena 8 habis dibagi 1, 2, 4, dan 8, kita dapat membuat daftar faktor positif dari 8 sebagai, 1, 2, 4, dan 8. Selain itu, 8 memiliki faktor negatif juga, yang dapat didaftar sebagai, -1, -2, -4, -8 karena produk dari dua bilangan negatif adalah bilangan positif, yang berarti (-1) × (-8) = 8, dan ( -2) × (-4) = 8. Namun, kita biasanya hanya menggunakan faktor positif dari suatu bilangan. Mari kita baca tentang beberapa sifat faktor.

Sifat-Sifat Faktor

Faktor suatu bilangan memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

Banyaknya faktor suatu bilangan berhingga.
Faktor suatu bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan bilangan yang diberikan.
Setiap angka kecuali 0 dan 1 memiliki setidaknya dua faktor, 1 dan angka itu sendiri.
Pembagian dan perkalian adalah operasi yang digunakan untuk mencari faktor dari suatu bilangan.

Menentukan Faktor Suatu Balingan

Untuk mencari faktor dari suatu bilangan, kita dapat menggunakan metode pembagian dan metode perkalian.

Metode Pembagian

Untuk menemukan faktor positif dari suatu bilangan dengan menggunakan metode pembagian, kita perlu memeriksa bilangan apa yang benar- benar membagi habis bilangan tersebut (tanpa sisa).

Contoh

Tentukan faktor positif dari 60!

Pembahasan:

Setelah menulis pembagian tertentu bersama dengan pasangannya dan membuat daftar seperti yang ditunjukkan di atas. Diperoleh angka pembaginya sampai dengan 6,secara otomatis kita mendapatkan faktor pasangan lainnya bersamanya. Misalnya, mulai dari 1, kita menulis 60 : 1 = 60, dan 60 : 2 = 30 dan seterusnya. Di sini, pembagi dan hasil bagi adalah faktor dari bilangan tersebut. Ini berarti (1, 60) membentuk pasangan pertama, (2, 30) membentuk pasangan kedua dan daftarnya berlanjut seperti yang ditunjukkan. Jadi, saat kita menulis 1 sebagai faktor dari 60, kita mendapatkan faktor lainnya yaitu 60; dan saat kita menulis 2 sebagai faktor dari 60, kita mendapatkan 30 sebagai faktor lainnya. Oleh karena itu, faktor dari 60 dapat didaftar sebagai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Metode Perkalian

Untuk menemukan faktor dari suatu perkalian menggunakan perkalian, kita perlu memeriksa pasangan bilangan apa yang menghasilkan bilangan tersebut.

Contoh

Tentukan faktor positif dari 90!

Pembahasan:

Setelah menulis perkalian tertentu bersama dengan pasangannya dan membuat daftar seperti yang ditunjukkan di atas. Diperoleh perkalian hingga angka 9, secara otomatis mendapatkan faktor pasangan lainnya bersamanya. Misalnya, mulai dari 1, kita menulis 1 × 90 = 90 dan 2 × 45 = 90 dan seterusnya. Di sini, (1, 90) membentuk pasangan pertama, (2, 45) membentuk pasangan kedua dan daftarnya berlanjut seperti yang ditunjukkan. Jadi, saat kita menulis 1 sebagai faktor dari 90, kita mendapatkan faktor lainnya sebagai 90; dan saat kita menulis 2 sebagai faktor dari 90, kita mendapatkan 45 sebagai faktor lainnya. Dengan cara ini, kita mendapatkan semua faktor. Oleh karena itu, faktor dari 90 dapat didaftar sebagai 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Mencari Banyaknya Faktor Positif

Kita dapat menemukan jumlah faktor dari bilangan yang diberikan menggunakan langkah-langkah berikut.

Langkah 1: Lakukan faktorisasi prima dari bilangan yang diberikan, yaitu, nyatakan sebagai produk dari bilangan prima.
Langkah 3: Tulis faktorisasi prima dalam bentuk eksponen .
Langkah 3: Tambahkan 1 ke masing-masing eksponen.
Langkah 4: Kalikan semua angka yang dihasilkan. Produk ini memberikan jumlah faktor dari angka yang diberikan.

Cara menghitung banyaknya faktor positif dari sembarang bilangan asli n dapat kita perumum sebagai berikut:

Jika n adalah bilangan asli yang memiliki faktorisasi prima

$n = p_{1} ^{n_1}p_{2} ^{n_2}p_{3} ^{n_3}...p_{k} ^{n_k}$

Dengan $p_{1}, p_{2}, p_{3}, ..., p_{k}$ adalah faktor prima dari n dan $e_{1}, e_{2}, e_{3}, ..., e_{k}$ adalah bilangan asli yang merupakan pangkat dari faktor prima. Banyaknya faktor positif dari n dapat ditentukan dengan

Banyak faktor positif = $(e_{1} + 1)\times(e_{2} + 1)\times(e_{3} + 1)\times....\times(e_{k} + 1)$

Contoh:

Tentukan banyaknya faktor positif dari bilangan 180.

Pembahasan:

$180 = 2^{2}\times 3^{2} \times 5$

Banyak faktor dari 180 = $(2 + 1)\times(2 + 1)\times(1 + 1) = 18$