Mengenal Tripel Pythagoras : Pengertian dan Cara Menemukan Triple Pythagoras

Triple Pythagoras adalah sekumpulan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan Pythagoras, yaitu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Dalam sebuah segitiga siku-siku, panjang sisi miring (c) sama dengan hasil akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari panjang sisi yang lain (a dan b). Oleh karena itu, ketika kita menemukan tiga bilangan bulat yang memenuhi persamaan Pythagoras, maka kita dapat menganggapnya sebagai panjang sisi dari segitiga siku-siku.

Contoh paling terkenal dari triple Pythagoras adalah (3, 4, 5), di mana 3, 4, dan 5 mewakili panjang sisi dari segitiga siku-siku. Triple Pythagoras yang lain seperti (5, 12, 13) dan (8, 15, 17) juga cukup dikenal. Walaupun begitu, tidak semua kombinasi bilangan bulat akan menghasilkan triple Pythagoras.

Triple Pythagoras memiliki aplikasi di berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, teknik, dan komputer grafis. Misalnya, dalam matematika, triple Pythagoras digunakan untuk memecahkan masalah geometri dan trigonometri yang melibatkan segitiga siku-siku. Dalam fisika, triple Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak lintasan atau orbit planet dan dalam perancangan dan perhitungan struktur bangunan dan jembatan dalam teknik.

Dalam artikel ini, kita akan membahas lebih lanjut tentang triple Pythagoras, termasuk cara mencari triple Pythagoras, contoh-contoh triple Pythagoras, dan penggunaan triple Pythagoras di berbagai bidang. Dengan memahami konsep ini, kita dapat memecahkan berbagai masalah yang melibatkan segitiga siku-siku dengan lebih mudah dan efisien.

Pengertian Triple Pythagoras

Triple Pythagoras adalah kumpulan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi teorema Pythagoras. Artinya, jika kita mengambil dua bilangan dari triple Pythagoras dan memperlakukan bilangan tersebut sebagai sisi-sisi pendek dari segitiga siku-siku, maka sisi yang tersisa akan menjadi hipotenusa segitiga siku-siku tersebut. Triple Pythagoras juga dikenal dengan sebutan triplet Pythagoras.

Contoh triple Pythagoras yang paling terkenal adalah (3, 4, 5), yang artinya jika kita mengambil dua bilangan dari triplet ini dan memperlakukan bilangan tersebut sebagai sisi-sisi pendek dari segitiga siku-siku, maka sisi yang tersisa akan menjadi hipotenusa segitiga siku-siku tersebut. Kita juga dapat menemukan triple Pythagoras lainnya seperti (5, 12, 13), (8, 15, 17), dan seterusnya.

3 Cara Menemukan Triple Pythagoras

Cara Pertama

Cara mencari triple Pythagoras dapat dilakukan dengan menggunakan rumus sederhana yang didasarkan pada sifat-sifat bilangan bulat. Rumus ini adalah:

$a = m^{2} - n^{2}$

$b = 2mn$

$c = m^{2} + n^{2}$

di mana m dan n adalah bilangan bulat positif yang berbeda (m > n), dan a, b, dan c adalah bilangan bulat positif yang membentuk triplet Pythagoras. Perhatikan bahwa bilangan m dan n harus dipilih sedemikian rupa sehingga a, b, dan c positif dan bilangan bulat.

Dalam rumus di atas, bilangan a dan b adalah sisi-sisi pendek dari segitiga siku-siku, sedangkan c adalah hipotenusa. Dengan rumus ini, kita dapat dengan mudah menemukan banyak triplet Pythagoras.

Sebagai contoh, mari kita cari triple Pythagoras dengan bilangan hipotenusa 17. Kita dapat mencoba berbagai nilai m dan n, dan mencari yang cocok. Jika kita memilih m = 4 dan n = 1, maka kita dapat menghitung:

$a = 4^{2} - 1^{2} = 15$

$b = 2 \times 4 \times 1 = 8$

$c = 4^{2} + 1^{2} = 17$

Sehingga triplet Pythagoras yang sesuai adalah (8, 15, 17).

Berikut adalah contoh soal untuk mencari triple Pythagoras:

Cari semua triple Pythagoras dengan bilangan hipotenusa 25.

Solusi:

Kita dapat menggunakan rumus di atas dan mencari nilai m dan n yang cocok. Jika kita memilih m = 3 dan n = 4, maka kita dapat menghitung:

$a = 3^{2} - 4^{2} = -7$ (tidak memenuhi syarat bilangan positif)

$b = 2 \times 3 \times 4 = 24$

$c = 3^{2} + 4^{2} = 25$

Jadi triplet Pythagoras yang sesuai adalah (7, 24, 25).

Kita juga dapat mencoba nilai m = 5 dan n = 12, yang menghasilkan triplet Pythagoras lainnya, yaitu (15, 20, 25).

Dari contoh soal di atas, kita dapat melihat bahwa tidak semua nilai m dan n menghasilkan triplet Pythagoras yang memenuhi syarat.

Cara Kedua

Cara kedua kita dapat menggunakan urutan bilangan ganjil, dalam hal ini bilangan ganjil yang dimaksud urutanya kita mulai dari bilangan ganjil setelah 1, sehingga 3 menjadi urutan yang pertama, 5 menjadi kedua, 7 menjadi ketiga dan seterusnya. Polanya bisa mengikuti perhitungan di bawah

Bilangan ganjil urutan pertama yaitu 3
3 x 1 + 1 = 4 (angka 1 merupakan urutan bilangan yang sudah disepakati sebelumnya)
4 + 1 = 5
Sehingga triple pythagorasnya menjadi 3, 4, 5

Bilangan ganjil urutan kedua yaitu 5

5 x 2 + 2 = 12 (angka 2 merupakan urutan bilangan yang sudah disepakati sebelumnya)

12 + 1 = 13

Sehingga triple pythagorasnya menjadi 5, 12, 13

Bilangan ganjil urutan ketiga yaitu 7
7 x 3 + 3 = 24
24 + 1 = 25
Sehingga triple pythagorasnya menjadi 7, 24, 25
dan seterusnya

Bagaimana jika bilangan ganjilnya misalnya kita tidak ketahui urutanya? Misalkan 21, untuk mengetahui urutannya kita cukup membagi 21 dengan 2 dan hasilnya dibulatkan ke bawah, sehingga

21 : 2 = 10,5

Maka 21 merupakan bilangan ganjil urutan ke 10 sesuai urutan yang telah disepakati sebelumnya (urutan bilangan ganjil yang mengabaikan 1 sebagai bilangan ganjil pertama)

Jika dilanjutkan, maka

21 x 10 + 10 = 220

220 + 1 = 221

Sehingga triple pythagorasnya adalah 21, 220, 221

Cara Ketiga

Triple pythagoras yang dicari merupakan kelipatan triple pythagoras yang sudah ada. Jadi dalam hal ini kita mengalikan ketiga bilangan suatu triple pythagoras dengan bilangan tertentu. Sebagai contoh triple pythagoras 3, 4, 5

Jika dikali 2 maka diperoleh triple pythagoras baru 6, 8, 10
Jika dikali 3 maka diperoleh triple pythagoras baru 9, 12, 15
Jika dikali 4 maka diperoleh triple pythagoras baru 12, 16, 20
dan seterusnya

Berlaku juga dengan triple pythagoras yang lain misalkan 5, 12, 13 jika kita lipatkan dengan maka akan diperoleh triple pythagoras baru

10, 24, 26

15, 36, 39

20, 48, 52

dan seterusnya

Daftar Triple Pythagoras

Berikut adalah beberapa contoh triple Pythagoras yang umum:

(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
(9, 40, 41)
(11, 60, 61)
(12, 35, 37)
(13, 84, 85)
(16, 63, 65)
(20, 21, 29)
(28, 45, 53)
(33, 56, 65)
(36, 77, 85)
(39, 80, 89)
(48, 55, 73)
(65, 72, 97)

Daftar di atas hanyalah contoh-contoh triple Pythagoras yang umum dan ada banyak lagi triple lainnya yang dapat ditemukan. Namun, penting untuk diingat bahwa tidak semua kombinasi bilangan bulat akan menghasilkan triple Pythagoras. Hanya beberapa kombinasi bilangan bulat yang memenuhi syarat teorema Pythagoras untuk membentuk triple Pythagoras.

Secara keseluruhan, triple Pythagoras merupakan kumpulan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi syarat teorema Pythagoras. Triple Pythagoras dapat diterapkan dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, dan teknik. Namun, perlu diingat bahwa tidak semua kombinasi bilangan bulat positif dapat membentuk triple Pythagoras. Oleh karena itu, penting untuk memahami cara mencari triple Pythagoras dengan benar. Dengan memahami konsep ini, kita dapat memanfaatkan teorema Pythagoras dengan lebih baik dan mengaplikasikannya dalam pemecahan masalah geometri yang lebih kompleks.