Contoh Soal dan Pembahasan Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Dalam matematika, khususnya aljabar, proses merasionalkan penyebut seringkali menjadi langkah kunci dalam menyederhanakan ekspresi yang melibatkan akar. Proses ini melibatkan penyesuaian ekspresi sehingga penyebutnya tidak lagi mengandung akar, memudahkan kita dalam melakukan operasi lanjutan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian. Artikel ini akan mengulas beberapa contoh soal yang berkaitan dengan merasionalkan penyebut bentuk akar dan memberikan pembahasan mendalam tentang cara menyelesaikannya.

Dalam artikel sebelumnya telah dibahas mengenai 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar . Artikel tersebut dapat dipelajari untuk memudahkan kita dalam menyederhanakan pecahan dengan penyebut bentuk akar dengan cara merasionalkan

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan merasionalkan pecahan penyebut bentuk akar

Soal 1

Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahan $\frac{2}{3\sqrt{5}}$!

Pembahasan:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}= \frac{2}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} $

      $=  \frac{2 \times \sqrt{5}}{3\sqrt{5}\times\sqrt{5}}$

      $=  \frac{2 \sqrt{5}}{3\sqrt{25}}$

      $=  \frac{2 \sqrt{5}}{3\times25}$

      $=  \frac{2 \sqrt{5}}{75}$

Soal 2

Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahan $\frac{3}{2\sqrt{6}}$!

Pembahasan:

$\frac{3}{2\sqrt{6}}= \frac{3}{2\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} $

      $=  \frac{3 \times \sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times\sqrt{6}}$

      $=  \frac{3 \sqrt{6}}{2\sqrt{36}}$

      $=  \frac{3 \sqrt{6}}{2\times6}$

      $=  \frac{3 \sqrt{6}}{12}$

      $=  \frac{ \sqrt{6}}{4}$ (pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 3)

Soal 3

Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahan $\frac{5\sqrt{5}}{4\sqrt{6}}$!

Pembahasan:

$\frac{5\sqrt{5}}{4\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{5}}{4\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

     $=  \frac{5 \sqrt{5}\times \sqrt{6}}{4\sqrt{6}\times\sqrt{6}}$

     $=  \frac{5 \sqrt{30}}{4\sqrt{36}}$

     $=  \frac{5 \sqrt{30}}{4\times 6}$

     $=  \frac{5 \sqrt{30}}{24}$

Soal 4

Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahan $\frac{3}{3\sqrt{3}-2}$!

Pembahasan:

$\frac{3}{3\sqrt{3}-2}=\frac{3}{3\sqrt{3}-2}\times\frac{3\sqrt{3}+2}{3\sqrt{3}+2}$

    $=\frac{3(3\sqrt{3}+2)}{(3\sqrt{3}-2)(3\sqrt{3}+2)}$

    $=\frac{9\sqrt{3}+6)}{9\times 3 - 4}$

    $=\frac{9\sqrt{3}+6)}{27 - 4}$

    $=\frac{9\sqrt{3}+6)}{23}$

Soal 5

Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahan $\frac{3+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}+3}$!

Pembahasan:

$\frac{3+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}+3}= \frac{3+\sqrt{5}}{5\sqrt{2}+3} \times \frac{5\sqrt{2}-3}{5\sqrt{2}-3}$

       $=\frac{(3+\sqrt{5})(5\sqrt{2}-3)}{(5\sqrt{2}+3)(5\sqrt{2}-3)}$

       $=\frac{15\sqrt{2}-9+5\sqrt{10}-3\sqrt{5}}{25 \times 2 - 9}$

       $=\frac{15\sqrt{2}-9+5\sqrt{10}-3\sqrt{5}}{50 - 9}$

       $=\frac{15\sqrt{2}-9+5\sqrt{10}-3\sqrt{5}}{41}$

Soal 6

Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahan $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$!

Pembahasan:

$\frac{3}{\sqrt{7}+2}=\frac{3}{\sqrt{7}+2}\times\frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}-2}$

            $=\frac{3\times(\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}$

            $=\frac{3\sqrt{7}-6)}{7 - 4}$

            $=\frac{3\sqrt{7}-6)}{3}$

            $=\sqrt{7}-2$ (pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 3)

Soal 7

Rasionalkan penyebut pecahan $\frac{6\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$!

Pembahasan:

$\frac{6\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}\times\frac{5+\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}}$

               $=\frac{6\sqrt{7}(5+\sqrt{7})}{(5-\sqrt{7})((5+\sqrt{7})}$

               $=\frac{6\sqrt{7}(5+\sqrt{7})}{25-7}$

               $=\frac{6\sqrt{7}(5+\sqrt{7})}{18}$

               $=\frac{30\sqrt{7}+42)}{18}$

               $=\frac{10\sqrt{7}+7)}{3}$ (penyebut dan pembilang sama-sama dibagi 3)

Soal 8

Rasioalkan penyebut pecahan $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$!

Pembahasan:

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

                    $=\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}  {(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) }$

                    $=\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + 3}  {5 - 3 }$

                    $=\frac{(8 + 2\sqrt{15}}  {2 }$

                    $=4+ \sqrt{15} $(penyebut dan pembilang sama-sama dibagi 2)

Setelah mempelajari contoh soal dan pembahasan mengenai merasionalkan penyebut bentuk akar, kita dapat melihat bahwa proses ini, meskipun mungkin tampak rumit pada awalnya, sebenarnya adalah serangkaian langkah-logika yang konsisten. Dengan pemahaman yang baik dan latihan yang cukup, kita bisa dengan mudah menguasai teknik ini dan menggunakannya untuk menyederhanakan ekspresi matematika yang lebih kompleks. Sebagaimana halnya dengan konsep matematika lainnya, kuncinya adalah pemahaman mendalam dan praktek yang konsisten.

Share :