Kedudukan Suatu Titik Terhadap Lingkaran

Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang Posisi Titik dan Garis Terhadap Lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Kita mulai dari kedudukan titik terhadap lingkaran. Jika titik sembarang $T(x_1, y_1)$ dan L adalah lingkaran dengan jari-jari maka ada tiga posisi titik  P terhadap lingkaran L yaitu:

• Titik T terletak pada lingkaran
• Titik T di dalam lingkaran dan
• Titik T diluar lingkaran

Untuk memahami materi ini perlu diingat tentang persamaan lingkaran persamaan lingkaran yaitu:

1. persamaan lingkaran dengan pusatnya O(0,0) dan jari-jari r maka persamaannya adalah $x^2 + y^2 = r^2$
2. persamaan baku lingkaran yaitu jika pusatnya P(a,b) dan jari-jari r maka persamaannya adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
3. persamaan umum lingkaran yaitu $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ dengan pusat $P(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$ dan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 -C}$

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Kedudukan Titik di dalam Lingkaran

Misalkan titik $T(x_1, y_1)$ berada dalam lingkaran L dengan pusat P dan jari-jari r, maka PT < r, oleh karena itu

• Jika pusat lingkaran L di O(0, 0), maka $x_1 ^2 + y_1 ^2 < r^2$
• Jika pusat lingkaran L di P(a, b), maka $(x_1 -a)^2 + (y_1 -b)^2 < r^2$
• Jika pusat bentuk umum lingkaran L adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, maka $x_1 ^2 + y_1 ^2 + Ax_1 + By_1 + C < 0$

Kedudukan Titik pada Lingkaran

Misalkan titik $T(x_1, y_1)$ berada pada lingkaran L dengan pusat P dan jari-jari r, maka PT = r, oleh karena itu

• Jika pusat lingkaran L di O(0, 0), maka $x_1 ^2 + y_1 ^2 = r^2$
• Jika pusat lingkaran L di P(a, b), maka $(x_1 -a)^2 + (y_1 -b)^2 = r^2$
• Jika pusat bentuk umum lingkaran L adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, maka $x_1 ^2 + y_1 ^2 + Ax_1 + By_1 + C = 0$

Kedudukan Titik di luar Lingkaran

Misalkan titik $T(x_1, y_1)$ berada di luar lingkaran L dengan pusat P dan jari-jari r, maka PT > r, oleh karena itu

• Jika pusat lingkaran L di O(0, 0), maka $x_1 ^2 + y_1 ^2 > r^2$
• Jika pusat lingkaran L di P(a, b), maka $(x_1 -a)^2 + (y_1 -b)^2 > r^2$
• Jika pusat bentuk umum lingkaran L adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, maka $x_1 ^2 + y_1 ^2 + Ax_1 + By_1 + C > 0$

Contoh Soal

Contoh 1

Posisi titik (3,1) terhadap lingkaran x² + y² = 25 adalah ...

Pembahasan

Titik (3,1) substitusikan ke persamaan lingkaran (ruas kiri)

$3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$ ---> 10 < 25 (di dalam lingkaran)

Jadi, posisi titik (3,1) terhadap lingkaran x² + y² = 25 berada di dalam lingkaran

Contoh 2

Kedudukan titik A(2,5) terhadap lingkaran (x-2)²+(y+5)²=40 adalah ... .

Pembahasan

Titik A(2, 5) substitusikan ke persamaan lingkaran (ruas kiri)

$(2 -2)^2 + (5 + 5)^2 = 0 + 100 = 100$ ---> 100 > 40 (di luar ligkaran)

Jadi, kedudukan titik A(2,5) terhadap lingkaran (x-2)²+(y+5)²=40 adalah di luar lingkaran

Contoh 3

Kedudukan titik (2, -1) terhadap lingkaran x² + y² - 6x + 4y + 11 = 0 adalah ...

Pembahasan

Titik (2, -1) substitusikan ke persamaan lingkaran (ruas kiri)

$2^2 + (-1)^2 - 6(2) + 4(-1) + 11 = 4 + 1 - 12 - 4 + 11 = 0 ---> 0 = 0 (pada lingkaran)

Jadi, kedudukan titik (2, -1) terhadap lingkaran x² + y² - 6x + 4y + 11 = 0 adalah pada lingkaran

Demikianlah mengenai kedudukan suatu titik terhadap lingkaran, semoga bermanfaat

Share :