Latihan Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah bentuk geometris yang fundamental dan banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari ban sepeda hingga lintasan atletik, semua itu berbentuk lingkaran. Dalam ilmu matematika, lingkaran dipelajari secara mendalam termasuk sifat-sifatnya dan persamaannya

Memahami persamaan lingkaran penting untuk menyelesaikan berbagai persoalan matematika. Persamaan lingkaran bisa digunakan untuk mencari panjang jari-jari, luas lingkaran, atau bahkan menentukan posisi titik tertentu terhadap lingkaran

Sebelum mempelajari soal-soal persamaan lingkaran, alangkah baiknya terlebih dahulu membaca dan memahami materi Persamaan lingkaranPersamaan lingkaran dan materi Jarak Antara Dua titik untuk mempermudah dalam menjawab soal-soal persamaan lingkaran

Berikut adalah latihan soal dan pembahasan persamaan lingkaran

Soal 1

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 2$\sqrt{3}$ adalah ...

A. $x^2 + y^2 = 12$

B. $x^2 + y^2 = 10$

C. $x^2 + y^2 = 8$

D. $x^2 + y^2 = 6$

E. $x^2 + y^2 = 4$

Pembahasan

Persamaan lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari r dapat ditentukan dengan

$x^2 + y^2 = r^2$

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2$

$x^2 + y^2 = 4\times3$

$x^2 + y^2 = 12$

Soal 2

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik (2,-3) adalah ...

A. $x^2 + y^2 = 25$

B. $x^2 + y^2 = 16$

C. $x^2 - y^2 = 16$

D. $x^2 + y^2 = 13$

E. $x^2 - y^2 = 13$

Pembahasan

Langkah pertama kita tentukan terlebih dahulu jari-jari lingkaran. Untuk persamaan yang berpusat di O(0,0), jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan

$r=\sqrt{x^2 + y^2}$

$r=\sqrt{2^2 + (-3)^2}$

$r=\sqrt{4 + 9}$

$r=\sqrt{13}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

$x^2 + y^2 = r^2$

$x^2 + y^2 = (\sqrt{13})^2$

$x^2 + y^2 = 13$

Soal 3

Persamaan lingkaran berpusat di (-2,3) berjari-jari 4 adalah ....

A. $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$

B. $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$

C. $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$

D. $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 29 = 0$

E. $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 3 = 0$

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r dapat ditentukan dengan

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Sehingga, untuk persamaan lingkaran berpusat di (-2,3) berjari-jari 4 ditentukan dengan

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6x + 9 = 16$

$x^2 + y^2 +4x - 6x + 13 = 16$

$x^2 + y^2 +4x - 6x + 13 - 16 = 0$

$x^2 + y^2 +4x - 6x - 3 = 0$

Soal 4

Diketahui persamaan lingkaran $(x + 2)^2 + (y - b)^2 = 8$ melalui (-4, 4). Pusat lingkarannya adalah ...

A. (2, 0)

B. (2, 2)

C. (2, 4)

D. (-2, 0)

E. (-2, 2)

Pembahasan

Langkah pertama kita substitusi (4, 4) ke dalam persamaan lingkaran

$(-4 + 2)^2 + (4 - b)^2 = 8$

$(-2)^2 + (4 - b)^2 = 8$

$4 + (4 - b)^2 = 8$

$(4 - b)^2= 8 - 4$

$(4 - b)^2 = 4$

$4 - b = \pm \sqrt{4}$

$4 - b = \pm 2$

$-b = \pm 2 - 4$

Bentuk di terakhir memiliki dua kemungkinan nilai b

$-b = 2 - 4$

$-b = -2$

$b = 2$

atau

$-b = -2 - 4$

$-b = -6$

$b = 6$

Sehingga persamaan lingkarannya menjadi

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 8$

dengan pusat lingkaran (-2, 2) atau

$(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 8$

dengan pusat lingkaran (-2, 6)

Soal 5

Persamaan lingkaran $8x^2 + 8y^2 = 32$, nilai pusat dan jari-jari masing-masing adalah ....

A. Pusat (0,0) dan jari-jari $\sqrt{32}$

B. Pusat (0,0) dan jari-jari 2

C. Pusat (8,8) dan jari-jari 4

D. Pusat (0,0) dan jari-jari 16

E. Pusat (8,8) dan jari-jari 4

Pembahasan

Persamaan lingkaran $8x^2 + 8y^2 = 32$ dapat disederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan 8, diperoleh:

$x^2 + y^2 = 4$

Sehingga pusatnya (0, 0) dan jari-jarinya $r =\sqrt{4} = 2$

Soal 6

Diketahui titik A (5,-1) dan B (2,3). Persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B dan berpusat di (0,0) adalah ....

A. $4x^2 + 4y^2 = 25$

B. $4x^2 + 4y^2 = 36$

C. $2x^2 + 2y^2 = 25$

D. $x^2 + y^2 = 25$

E. $x^2 + y^2 = 12$

Pembahasan

Diameter lingkaran melalui A (5,-1) dan B (2,3) sehingga panjang diameter (d) dapat ditentukan dengan rumus jarak dari dua titik

$d = \sqrt{(5 - 2)^2 +(-1 - 3)^2}$

$d = \sqrt{9 + 16}$

$d = \sqrt{25}$

$d = 5$

$r = \frac{5}{2}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

$x^2 + y^2 = r^2$

$x^2 + y^2 = (\frac{5}{2})^2$

$x^2 + y^2 = \frac{25}{4}$

$4x^2 + 4y^2 = 25$

Soal 7

Jari-jari dari persamaan lingkaran $(x + 7)^2 + (y - 2)^2 = 144$ adalah ...

A. 7

B. 9

C. 12

D. 13

E. 16

Pembahasan

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a, b)

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Untuk persamaan $(x + 7)^2 + (y - 2)^2 = 144$ dapat diubah menjadi

$(x - (-7))^2 + (y - 2)^2 = 12^2$

Sehingga, pusatnya di (-7, 2) dan jari-jarinya adalah 12

Soal 8

Pusat lingkaran dari persamaan $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 36 = 0$ adalah ...

A. (-2, 5)

B. (-2, -3)

C. (-4, 3)

D. (2, 3)

E. (4, 3)

Pembahasan

Pada persamaan lingkaran yang berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + Bx + C = 0$, pusat lingkarannya adalah $(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$, sehingga pusat dari persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 36 = 0$

$(-\frac{1}{2}\times 4, -\frac{1}{2}\times6)$

$(-2, -3)$

Soal 9

Radius dari lingkaran yang persamaanya $x^2 + y^2 - 10x + 8y - 23 = 0$ adalah ...

A. 2

B. 4

C. 8

D. 9

E. 16

Pembahasan

$r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 +\frac{1}{4}B^2 - C}$

$r = \sqrt{\frac{1}{4}\times(-10)^2 +\frac{1}{4}\times8^2 - (-23)}$

$r = \sqrt{\frac{1}{4}\times100 +\frac{1}{4}\times64 + 23}$

$r = \sqrt{25 +16 + 23}$

$r = \sqrt{64}$

$r = 8$

Soal 10

Diketahui persamaan lingkaran $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ melalui titik (4,-2). Persamaan lingkaran baru yang sepusat dan jari-jari dua kali panjang jari-jari semula adalah ....

A. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

B. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 50$

C. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 100$

D. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1600$

E. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2500$

Pembahasan

Langkah pertama substitusi titik (4, -2) ke persamaan lingkaran

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$

$(4 - 1)^2 + ((-2) - 2)^2 = r^2$

$3^2 + (-4)^2 = r^2$

$9 + 16 = r^2$

$25 = r^2$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Soal 11

Persamaan lingkaran yang melalui titik (5, -1) dan berpusat di titik (2, 3) adalah ...

A. $x^2 + y^2 -4x - 6y - 12 =0$

B. $x^2 + y^2 -4x - 6y - 24 =0$

C. $x^2 + y^2 -4x - 6y + 25 =0$

D. $x^2 + y^2 -4x - 6y - 13 =0$

E. $x^2 + y^2 -4x - 6y - 10 =0$

Pembahasan

Jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan rumus jarak

$r = \sqrt{(5-2)^2 + (-1-3)^2}$

$r = \sqrt{9 + 16}$

$r = \sqrt{25}$

$r = 5$

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan berjari-jari 5 adalah

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$

$x^2 + y^2 -4x - 6y + 13 = 25$

$x^2 + y^2 -4x - 6y - 12 = 0$

Soal 12

Diketahui titik (a, b) adalah pusat lingkaran dari $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$. Maka nilai 2a + b adalah ...

A. -2

B. -1

C. 0

D. 2

E. 3

Pembahasan

Pada persamaan $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$, pusat lingkarannya dapat ditentukan dengan

$(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$

$(-\frac{1}{2}\times(-2), -\frac{1}{2}\times4)$

$(1, -2)$

Jadi, nilai 2a + b = 2(1) - 2 = 0

Soal 13

Persamaan lingkaran yang berpusat di (-1, 3) dan berdiameter $\sqrt{40}$ adalah ...

A. $x^2 + y^2 -6x - 2y=0$

B. $x^2 + y^2 -2x - 2y=0$

C. $x^2 + y^2 -2x - 6y=0$

D. $x^2 + y^2 + 2x + 6y=0$

E. $x^2 + y^2 + 2x - 6y=0$

Pembahasan

$d = \sqrt{40}$, maka

$r = \frac{\sqrt{40}}{2}$

Persamaan lingkaran yang berpusat di (-1, 3) dan berjari-jari $r = \frac{\sqrt{40}}{2}$

$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = (\frac{\sqrt{40}}{2})^2$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{40}{4}$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 + 6x + 9 = 10$

$x^2 + y^2 + 2x + 6x + 10 = 10$

$x^2 + y^2 + 2x + 6x = 0$

Soal 14

Persamaan lingkaran dengan koordinat ujung-ujung salah satu diameternya (-4, -1) dan (6, 1) adalah ...

A. $x^2 + y^2 - 2x + 2x -27 = 0$

B. $x^2 + y^2 - 2x + 2x -29 = 0$

C. $x^2 + y^2 + 2x - 2x + 31 = 0$

D. $x^2 + y^2 + 2x - 2x -27 = 0$

E. $x^2 + y^2 - 2x + 2x + 31 = 0$

Pembahasan

Diameter lingkaran melalui A (-4, -3) dan B (6, 1) sehingga panjang diameter (d) dapat ditentukan dengan rumus jarak dari dua titik

$d = \sqrt{(-4 - 6)^2 +(-3 - 1)^2}$

$d = \sqrt{100 + 16}$

$d = \sqrt{116}$

$d = \sqrt{4 \times 29}$

$d =2 \sqrt{29}$

$r = \frac{2\sqrt{29}}{2}$

$r = \sqrt{29}$

Persamaan lingkarannya

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = (\sqrt{29})^2$

$x^2 + y^2 - 2ax - 2bx + a^2 + b^2 = 29$

Substitusi A(-4, -3) ke persamaan $x^2 + y^2 - 2ax - 2bx + a^2 + b^2 = 29$

$(-4)^2 + (-3)^2 - 2a(-4) - 2b(-3) + a^2 + b^2 = 29$

$16 + 9 + 8a + 6b + a^2 + b^2 = 29$

$8a + 6b + a^2 + b^2 = 4$ ....1)

Substitusi B(6, 1) ke persamaan $x^2 + y^2 - 2ax - 2bx + a^2 + b^2 = 29$

$(6)^2 + (1)^2 - 2a(6) - 2b(1) + a^2 + b^2 = 29$

$36 + 1 - 12a - 2b + a^2 + b^2 = 29$

$-12a - 2b + a^2 + b^2 = -8$ ....2)

Persamaan 1) dikurangi persamaan 2)

$8a + 6b + a^2 + b^2 = 4$

$-12a - 2b + a^2 + b^2 = -8$

$20a + 8b = 12$

$5a + 2b = 3$

$b = \frac{3 - 5a}{2}$

Substitusi $b = \frac{3 - 5a}{2}$ ke persamaan 1)

$8a + 6\times\frac{3 - 5a}{2} + a^2 + (\frac{3 - 5a}{2})^2 = 4$

$8a + 9 - 15a + a^2 + (\frac{9 - 30a+25a^2}{4})^2 = 4$

$32a + 36 - 60a + 4a^2 + 9 - 30a + 25a^2 =16$

$29a^2 - 58a - 29 = 0$

$29(a^2 - 2a -1 ) = 0$

$29(a-1)^2 = 0$

$a = 1$

$b = \frac{3 - 5(1)}{2}$

$b = -1$

Jadi, persamaan lingkaranya adalah

$x^2 + y^2 - 2ax - 2bx + a^2 + b^2 = 29$

$x^2 + y^2 - 2(1)x - 2(-1)x + 1^2 + (-1)^2 = 29$

$x^2 + y^2 - 2x + 2x + 1 + 1 = 29$

$x^2 + y^2 - 2x + 2x - 27 = 29$

Soal 15

Persamaan lingkaran yang melalui titik K(5, 2), L(-1, 2) dan M(3, 6) adalah ....

A. $x^2 + y^2 - 4x - 6x + 3 = 0$

B. $x^2 + y^2 - 4x + 6x + 3 = 0$

C. $x^2 + y^2 - 4x - 6x + 3 = 0$

D. $x^2 + y^2 - 4x + 6x - 3 = 0$

E. $x^2 + y^2 + 4x + 6 pplx + 3 = 0$

Pembahasan

Bentuk umum persamaan lingkaran

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Substitusi K(5, 2) ke bentuk umum

$25+ 4 + 5A + 2B + C = 0$

$5A + 2B + C = -29$ ....1)

Substitusi L(-1, 2) ke bentuk umum

$1+ 4 - A + 2B + C = 0$

$-A + 2B + C = -5$ ....2)

Substitusi M(3, 6) ke bentuk umum

$9+ 36 + 3A + 6B + C = 0$

$3A + 6B + C = -45$ .....3)

Eliminasi persamaan 1) dan 2)

$5A + 2B + C = -29$

$-A + 2B + C = -5$

$6A = -24$

$A = -4$....4)

Eliminasi persamaan 1) dan 3)

$5A + 2B + C = -29$

$3A + 6B + C = -45$

$2A - 4B = 16$

$A - 2B = 8$ .....5)

Substitusi 4) ke 5)

$-4 - 2B = 8$

$-2B = 12$

$B = -6$ ...6)

Substitusi 4) dan 6) ke 1)

$5(-4) + 2(-6) + C = -29$

$-20 - 12 + C = -29$

$-32 + C = -29$

$C = 3$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

$x^2 + y^2 - 4x - 6x + 3 = 0$

Dengan berlatih mengerjakan soal-soal persamaan lingkaran, kita dapat meningkatkan kemampuan memahami konsep lingkaran dan penerapannya dalam berbagai masalah. Selain itu, latihan ini juga bermanfaat untuk mengasah keterampilan berpikir logis dan analitis .

Semoga latihan soal dan pembahasan yang diberikan dalam artikel ini bermanfaat!