Latihan Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung merupakan salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya pada topik geometri analitik. Pemahaman yang baik mengenai persamaan ini tidak hanya membantu dalam menyelesaikan berbagai soal matematika, tetapi juga memperkuat kemampuan analisis dan logika kita. Artikel ini disusun untuk memberikan latihan soal dan pembahasan yang lengkap mengenai persamaan garis singgung. 

Dengan berlatih menggunakan 10 soal pilihan ganda yang disertai pembahasannya, diharapkan pembaca dapat lebih memahami cara menentukan persamaan garis singgung dengan tepat dan efisien. Mari kita mulai perjalanan ini dan kembangkan kemampuan matematika kita bersama-sama.

Soal 1

Persamaan garis singgung melalui titik (2,3) pada lingkaran $x^2 + y^2 = 13$ adalah ...

A. 2x - 3y = 13

B. 2x + 3y = 13

C. 3x+ 2y = 13

D. 2x + 3y = -13

E. 3x - 2y = -13

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 13$ yang melalui titik (2,3)

$x_1 x + y_1 y = 13$

$2x + 3y = 13$

Soal 2

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 11 = 0$ di titik (2,-1) adalah ...

A. x - y - 12 =0

B. x - y - 4 = 0

C. x + y - 3 = 0

D. -x + y + 3 = 0

E. x + y - 3 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 11 = 0$ di titik (2,-1)  dapat ditentukan dengan rumus

$x_1 x + y_1 y + \frac{1}{2}A(x_1 + x) + \frac{1}{2}B(y_1 + y) + C = 0$

Dari soal diketahui jika A = -6, B = 4, dan C = 11 serta $x_1$ = 2 dan $y_1 = -1$, maka

$2x + (-1)y + \frac{1}{2}\cdot(-6)(2 + x) + \frac{1}{2}\cdot4(-1 + y) + 11 = 0$

$2x  -y + -3(2 + x) + 2(-1 + y) + 11 = 0$

$2x - y - 6 - 3x -2 + 2y + 11$

$-x + y + 3 = 0$

Soal 3

Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$ di titik yang berabsis -1 adalah ...

A. 3x - 4y + 3 = 0

B. 3x+ 4y - 3 = 0

C. 3x + 2y + 5 = 0

D. 3x - 4y - 5 = 0

E. 3x + 2y + 9 = 0

Pembahasan

Garis singgung pada lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$ di titik yang berabsis -1 dapat ditentukan dengan menentukan nilai ordinatnya terlebih dahulu

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$

$(-1 - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$

$9 + (y + 1)^2 = 13$

$(y + 1)^2 = 4$

$y + 1 = \pm 2$

$y = 2 - 1 = 1$ atau $y = -2 -1 = -3$

Sehingga ada dua kemungkinan titik dari garis singgung lingkaran yaitu (-1, 1) atau (-1, -3)

Untuk menentukan persamaannya dapat menggunakan rumus

$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$

Untuk titik (-1, 0), maka

$(-1 - 2)(x - 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13$

$(-3)(x - 2) + 2(y + 1) = 13$

$-3x + 6 + 2y + 2 = 13$

$-3x + 2y - 5 = 0$

$3x - 2y + 5 = 0$

Untuk titik (-1, -3), maka

$(-1 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 13$

$(-3)(x - 2) + (-2)(y + 1) = 13$

$-3x + 6 - 2y - 2 = 13$

$-3x - 2y - 9 = 0$

$3x + 2y + 9 = 0$

Soal 4

Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ adalah ....

A. 3x + 4y - 19 = 0

B. 3x - 4y - 19 = 0

C. 4x - 3y + 19 = 0

D. x + 7y - 26 = 0

E. x - 7y - 26 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ ditentukan dengan rumus

$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$

Sehingga, diperoleh

$(5 - 2)(x - 2) + (1 + 3)(y + 3) = 25$

$3(x - 2) + 4(y + 3) = 25$

$3x - 6 + 4y + 12 - 25 = 0$

$3x + 4y - 19 = 0$

Soal 5

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ yang sejajar dengan garis 5x - 12y + 15 = 0 adalah ...

A. 5x - 12y + 10 = 0 atau 5x - 12y - 68 = 0

B. 5x + 12y - 10 = 0 atau 5x - 12y - 68 = 0

C. 5x - 12y - 10 = 0 atau 5x + 12y - 68 = 0

D. 5x - 12y + 10 = 0 atau 5x + 12y - 68 = 0

E. 5x + 12y + 10 = 0 atau 5x - 12y - 68 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ yang sejajar dengan garis 5x - 12y + 15 = 0 dapat ditentukan dengan

$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan 5x - 12y + 15 = 0, sehingga gradiennya sama dengan gradien garis 5x - 12y + 15 = 0 yaitu $m = -\frac{5}{12} = \frac{5}{12}$. Selanjutnya pusat lingkaran adalah 

$(-\frac{1}{2}\times-2, -\frac{1}{2}\times4) 

 $(1, -2)

Sedangkan jari-jarinya

$r= \sqrt{\frac{1}{4}\times2^2 + \frac{1}{4}\times4^2 - (-4)}$

$r= \sqrt{\frac{1}{4}\times4 + \frac{1}{4}\times16 +4}$

$r= \sqrt{1 + 4 + 4}$

$r = 3$

dengan demikian persamaan garis singgungnya

$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

$y - (-2) = \frac{5}{12}(x - 1) 3\pm 1\sqrt{(\frac{5}{12}^2 + 1}$

$y + 2 = \frac{5}{12}(x - 1) \pm 3\sqrt{\frac{25}{144} + 1}$

$12y + 24 = 5x - 5 \pm 36\sqrt{\frac{25+144}{144} }$

$5x - 12y - 5 - 24 \pm 36\sqrt{\frac{169}{144} }= 0$

$5x - 12y - 29 \pm 36\times\frac{13}{12} = 0$

$5x - 12y - 29 \pm 39= 0$

$5x - 12y - 29 + 39= 0$ atau $5x - 12y - 29 - 39= 0$

$5x - 12y + 10= 0$ atau $5x - 12y - 68= 0$

Soal 6

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ dengan gradien 3 adalah ...

A. $-y -3x = 4\sqrt{10}$

B. $y +3x = 4\sqrt{10}$

C. $y =3x - 4\sqrt{10}$

D. $y =-3x - 4\sqrt{10}$

E. $-y + 3x = 4\sqrt{10}$

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ dengan gradien 3  ditentukan dengan

$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

maka diperoleh

$y = 3x \pm 4\sqrt{3^2 + 1}$

$y = 3x \pm 4\sqrt{9 + 1}$

$y = 3x \pm 4\sqrt{10}$

$y = 3x + 4\sqrt{10}$ atau $y = 3x - 4\sqrt{10}$

Soal 7

Persamaan garis singgung lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 adalah ...

A. $y = 3x + 1 \pm \sqrt{10}$

B. $y = 3x + 3 \pm \sqrt{10}$

C. $y = 3x - 3 \pm \sqrt{10}$

D. $y = x - 3 \pm \sqrt{10}$

E. $y = 2x - 3 \pm \sqrt{10}$

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 dapat ditentukan dengan

$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

Dengan demikian a = 2, b = -3, r = 3 dan karena sejajar dengan y = 3x + 5, maka gradien garis singgung sama dengan gradien garis y = 3x + 5 dimana m = 3

$y +3 = 3(x + 2) \pm 3\sqrt{3^2 + 1}$

$y + 3 = 3x + 6 \pm 3\sqrt{9 + 1}$

$y + 3= 3x + 6 \pm 3\sqrt{10}$

$y = 3x + 3 \pm 3\sqrt{10}$

Soal 8

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dan bergradien -2 adalah ...

A. $-2y - 3x = 5\sqrt{5}$

B. $-y + 2x = 5\sqrt{5}$

C. $y = -2x - 5\sqrt{5}$

D. $-y = 2x -5\sqrt{5}$

E. $-2y + 3x = 5\sqrt{5}$

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dengan gradien -2  ditentukan dengan

$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

maka diperoleh

$y = (-2)x \pm 5\sqrt{(-2)^2 + 1}$

$y = -2x \pm 5\sqrt{4 + 1}$

$y = -2x \pm 5\sqrt{5}$

$y = -2x + 5\sqrt{5}$ atau $y = -2x - 5\sqrt{5}$

Soal 9

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah….

A. $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \sqrt{5}$

B. $y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \sqrt{5}$

C. $y = 2x - 5 \sqrt{5}$

D. $y = -2x + 5 \sqrt{5}$

E. $y = 2x + 5 \sqrt{5}$

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0  ditentukan dengan

$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

Langkah pertama, tentukan terlebih dahulu gradien garis 2y – x + 3 = 0 yaitu $m_1 = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$. Karena garis 2y – x + 3 = 0 tegak lurus dengan garis singgung lingkaran, dengan demikian gradien garis singgunya $m_2$ ditentukan dengan

$m_2 \times m_1 = -1$

$m_2 \times \frac{1}{2} = -1$

$m_2 = -2$

Persamaan garis singgungnya adalah 

$y = (-2)x \pm 5\sqrt{(-2)^2 + 1}$

$y = -2x \pm 5\sqrt{5}$

$y = -2x + 5\sqrt{5}$ atau $y = -2x - 5\sqrt{5}$

Soal 10

Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^2+ y^2 - 4x + 6y - 17 = 0$ dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan....

A. $(x - 2)^2 + ( y + 3)^2 = 25$

B. $(x - 2)^2 + ( y + 3)^2 = 16$

C. $(x + 2)^2 + ( y - 3)^2 = 25$

D. $(x + 2)^2 + ( y - 3)^2 = 16$

E. $(x - 4)^2 + ( y + 6 )^2 = 25$

Pembahasan 

Karena sepusat dengan $x^2+ y^2 - 4x + 6y - 17 = 0$, maka pusat persamaan garis singgung yang dicari

$(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$

$(-\frac{1}{2}(-4), -\frac{1}{2}(6))$

$(2, -3)$

Lingkaran juga menyinggung 3x – 4y + 7 = 0 dengan gradien $m = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$, sehingga

$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{m^2 + 1}$

$(y - (-3) )= \frac{3}{4}(x - 2) \pm r\sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1}$

$4(y+3) = 3x - 6 \pm 4r\sqrt{\frac{9}{16} + 1}$

$4y+12 = 3x - 6 \pm 4r\sqrt{\frac{9}{16} + 1}$

$3x - 4y - 18 \pm 4r\sqrt{\frac{9+16}{16}}=0$

$3x - 4y - 18 \pm 4r\sqrt{\frac{25}{16}}=0$

$3x - 4y - 18 \pm 4r\times\frac{5}{4}=0$

$3x - 4y - 18 \pm 5r =0$

Sehingga

$-18 \pm 5r = 7$ 

$-18 + 5r = 7$ atau $-18 - 5r = 7$ (r negatif)

$5r = 25$

$r = 5$

Jadi, persamaan lingkaranya adalah

$(x -a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2= 5^2$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2= 25$

Melalui artikel ini, kami telah menyediakan 10 soal pilihan ganda lengkap dengan pembahasannya untuk membantu Anda menguasai konsep persamaan garis singgung. Dengan latihan yang terus menerus dan pemahaman yang mendalam, Anda akan semakin terampil dalam menyelesaikan soal-soal terkait topik ini. Jangan ragu untuk mengulang latihan ini hingga Anda benar-benar paham. Ingat, kunci keberhasilan dalam matematika adalah latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang kuat. Semoga artikel ini bermanfaat dan selamat belajar!

Share :